Dimostrazione teorema omomorfismi gruppi di Lie

[Spremiagrumi1]

Ho un problema con la dimostrazione di questo teorema

Dato un omomorfismo
$f:G\rightarrow H$
e l'omomorfismo naturalmente indotto

$df:g\rightarrow h$

si ha che
$f(\exp(X))=\exp(df(X))$

Dimostrazione

Sia $X\in g$ e consideriamo
$t\rightarrow f(\exp(tX))$
questa è l'immagine (in $H$) del sottogruppo a 1-par generato da $X$ su $G$.

Questa curva ha le proprietà di sottogruppo a 1-par essendo $f$ un omomorfismo

$f(\exp(tX))\times_H f(\exp(sX))=f(\exp(tX)\times_G \exp(sX))=f(\exp(t+s)X)$

Sappiamo inoltre che la curva

$t\rightarrow \exp(df(X))$

è l'unico sottogruppo di $H$ con vettore tangente
$[df(X)]_e=df(X_e)$

Quindi le due curve devono coincidere.




Mi è chiaro che l'unico sottogruppo a 1-par generato da $df(X)$ è proprio $\exp(df(tX))$, non capisco invece come $f(\exp(tX))$ sia proprio la stessa curva. So che è un sottogruppo a 1-par su $H$ ma come so che non è generato da un altro vettore che appartiene ad $h$? Intuisco che c'entri il fatto che $f$ sia un omomorfismo e che in $f(\exp(tX))$ compaia proprio $X$, però mi sembra mi manchi qualcosa. Qualcuno riesce a chiarire i miei dubbi? Grazie

[j18eos]

Forse sarebbe meglio aggiungere qualche parolina a questa dimostrazione!

Innanzi tutto, il gruppo \(\displaystyle 1-\)parametrico generato dal vettore \(\displaystyle X\in\mathfrak{g}\) è l'omomorfismo (di gruppi di Lie):
\[
\varphi:t\in\mathbb{R}\to\exp(tX)\in G
\]
da cui:
\[
\psi=f\circ\varphi:t\in\mathbb{R}\to f(\exp(tX))\in H.
\]
Sappiamo che:
\[
\frac{d\varphi}{dt}\bigg|_{t=0}=X,\\
\frac{d\psi}{dt}\bigg|_{t=0}=df\circ\frac{d\varphi}{dt}\bigg|_{t=0}=df(X)
\]
per la regola della catena, ma:
\[
df(X)=\frac{d\exp(tdf(X))}{dt}\bigg|_{t=0}.
\]
Ciò basta per concludere che:
\[
\forall X\in\mathfrak{g},\,f(\exp X)=\exp(df(X))!
\]

Sperando che sia tutto chiaro, mi scuso con Spremiagrumi, perché non ho capito quale sia il suo dilemma.