Sottospazio lineare di R

[Vanguri]

Buonasera a tutti

Sto studiando i primi elementi di algebra lineare per un esame di matematica generale che dovrò sostenere tra qualche mese. Parlando di insiemi vettoriali e sottospazio lineare, mi sono imbattuto in un esercizio svolto (immagine in allegato) che non riesco proprio a capire fino in fondo



Non risco a capire in che modo, nel primo esercizio, si possa affermare che l'espressione, alla quale si arriva dopo i semplici calcoli svolti, appartenga all'insieme L... Per quanto riguarda il terzo e il secondo esercizio, non ne capisco proprio la logica

Scusate per la probabile banalità della domanda, ma è tutto il pomeriggio che perdo tempo a cercare di capire questi semplici esercizi e proprio non riesco a venirne a capo...

Grazie in anticipo

[@melia]

Sposto l'esercizio nell'area adatta, ma ti ricordo che il nostro regolamento impone che i testi siano scritti e non dentro ad immagini in allegato, infatti spesso gli allegati si perdono perché reindicizzati.

[donald_zeka]

Definizione di sottospazio lineare:

Un sottoinsieme di un qualche spazio lineare è uno sottospazio se e solo se:

$1)$ Contiene l'elemento nullo;
$2)$ Se due elementi appartengono al sottoinsieme allora appartiene anche la loro somma;
$3)$ Se un elemento appartiene all'insieme, allora appartiene anche l'elemento ottenuto dal primo moltiplicato per uno scalare.

I punti $1)$ e $2)$ si chiamano chiusura rispetto alla somma e al prodotto.

Quindi per verificare se un sottoinsieme è anche uno sottospazio non devi far altro che verificare che rispetti tutte e tre quelle proprietà.

Se noti bene negli esercizi non fa altro che verificare la chiusura rispetto a somma e prodotto e l'esistenza dell'elemento nullo.

[Vanguri]

Grazie per la risposta, ma non ho capito in base a che cosa si può stabilire che $ ((x1 + y1), m(x1 + y1)) $ appartenga a $ L $...
Allo stesso modo, in base a che cosa possiamo affermare che $ lambda (x1, x2) = ( \lambda x1, \lambda mx1) $ appartenga a $ L $ con $ lambda $ appartenente ad $ R $

[donald_zeka]

$L$ è l'insieme degli $(a,b)$ tali che $a=mb$

Cosa sono $a$ e $b$?? sono delle coppie di numeri, $a$ indica il primo numero, e $b$ indica il secondo numero, ma il nome $a$ e il nome b sono puramente indicativi, infatti qualsiasi nome va bene, basta che sia una coppia di numeri reali e che rispettino quella condizione, ossia il primo è un multiplo del secondo.

Passiamo ora alla verifica della chiusura rispetto alla somma:

Siano $(a,b)$ e $(x,y)$ due coppie che appartengono a $L$ (cosa significa? significa che $a=mb$ e $x=my$, che è la condizione di appartenenza a $L$), vogliamo verificare che anche la loro somma appartiene a $L$, qual è la loro somma?

($a,b)+(x,y)=(a+x, b+y)$

Che cos'è $(a+x, b+y)$? è sempre una coppia di numeri reali! vogliamo vedere se questa coppia appartiene a $L$, ossia se :

$(a+x)=m(b+y)$ [il primo numero è un multiplo del secondo, che è la definizione di appartenenza a $L$], vediamo se è vera svolgendo i calcoli:

$a+x=mb+my$

Ma sapendo che $a=mb$ e $x=my$ quell'espressione è sempre vera! e pertanto $L$ è chiuso rispetto alla somma.

Per la chiusura rispetto al prodotto:

Sia $(a,b)$ una coppia appartenente a $L$, ossia $a=mb$, vogliamo dimostrare che anche la coppia $k(a,b)$ appartiene a $L$:

$k(a,b)=(ka,kb)$

Vogliamo vedere se la coppia $(ka,kb)$ verifica le condizioni di $L$, ossia:

$ka=m(kb)$

$ka=mkb$

Dividiamo per $k$ (se $k!=0$, ovviamente se $k=0$ la cosa è ovvia):

$a=mb$ -> vero! pertanto anche $k(a,b)$ appartiene a $L$

Più chiaro di così non riesco ad essere...

[donald_zeka]

Quel libro che tu usi usa un metodo diverso dal mio, cioè sapendo che $a=mb$, la coppia non la scrive come $(a,b)$ ma come $(mb,a)$, è la stessa cosa, a me sembra più comodo il mio modo ma puoi fare come ti piace di più.

[donald_zeka]

Io ho scritto la condizione come $a=mb$, ma nel libro è $b=ma$, chiaramente il procedimento è lo stesso.

[Vanguri]

Sei stato molto chiaro con l'esempio e mi hai spiegato proprio quello che cercavo di capire...
Grazie mille!