Matrici diagonalizzabili?

[MementoMori2]

Ragazzi, io so che :
Sia T un endomorfismo di uno spazio vettoriale V, cioè una trasformazione lineare T:V\to V. Si dice che T è diagonalizzabile se esiste una base di V rispetto alla quale la matrice che rappresenta T è diagonale. In particolare, la base che diagonalizza T è composta da suoi autovettori.

E ciò si può verificare con P^-1AP= D

Ma questo perchè succede?

[donald_zeka]

Sia $T:V^n->V^n$ un operatore lineare che ha $n$ autovettori indipendenti corrispondenti a $n$ autovalori, gli $n$ autovettori pertanto essendo linearmente indipendenti formano una base di $V^n$, e risulta:

$T(v_1)=lamda_1v_1$
$T(v_2)=lamda_2v_2$
...
$T(v_n)=lamda_nv_2$

Tu sai che una trasformazione lineare è univocamente determinata sapendo come agisce sugli elementi di una base del dominio, in questo caso la base del dominio sono gli $n$ autovettori e quindi in base a quello che ho scritto prima sappiamo come agisce la trasformazione lineare su tali vettori. Adesso bisogna ricordare la definizione di matrice di una trasformazione lineare rispetto a una base, ossia, la matrice di una trasformazione lineare rispetto a una base $(v_1, v_2...v_n)$ è la matrice che ha per colonne le componenti di $T(v_i)$ rispetto alla base.

Nel tuo caso abbiamo quindi:

$T(v_1)=lamda_1v_1$, quali sono le componenti di $T(v_1)$ rispetto alla base degli $n$ autovettori, cioè, come si può esprimere $lamda_1v_1$ come combinazione lineare degli $n$ autovettori? semplice: $lamda_1v_1=lamda_1v_1+0*v_2+0*v_3+...0*v_n$, le sue componenti sono pertanto $(lamda_1,0,0...0)$.

Si consideri adesso $T(v_2)=lamda_2v_2$, esso si scrive quindi come $lamda_2v_2=0*v_1+lamda_2v_2+0*v_3+0*v_4+...0*v_n$, le sue componenti sono $(0,lamda_2,0,0...0)$.

Facendo questo procedimenti per tutti gli $n$ autovettori e incolonnando i risultati in colonna otteniamo una matrice diagonale.