Matrice associata a partire da determinati vettori
Salve a tutti, sono nuovo di questo forum e volevo chiedere il vostro aiuto per un esercizio di algebra lineare per prepararmi all'esame.
[size=150]Questa è la traccia :[/size]
Per quali eventuali valori di h esiste un unico omomorfismo f :R3→R2 tale che
f $ [ ( 1 ),( 1 ),( 0 ) ] $ = $ [ ( 2 ),( 1 ) ] $ , f $ [ ( 1 ),( 2 ),( h ) ] $ = $ [ ( 0 ),( 1 ) ] $ e $ [ ( 2 ),( 1 ) , ( h ) ] $ appartenga al nucleo? Per il più piccolo valore intero positivo di h per cui esiste un unico omomorfismo, determinarne la matrice associata nelle basi canoniche sia per dominio che per codominio.
[size=150]Mio svolgimento :[/size]
Per prima ho pensato che per il teorema di determinazione di un omomorfismo, esiste un omomorfismo unico solo se i tre vettori assegnati nel dominio sono indipendenti. Per verificare quindi se questi sono indipendenti e se appartengono al nucleo ho provato a fare la combinazione lineare e uguagliarla a 0
$ { ( a+2b+2c=0 ),( a+2b+c=0 ),( hb+hc=0 ):} $
Quindi o h=0 o h=!0
[size=150]h=0 [/size]
$ { ( a+b+2c=0 ),( a+2b+c=0 ):}{ ( b=-c ),( a=-3c ):} $
Dato che i tre vettori sono dipendenti per h=0 l'omomorfismo non è unico
[size=150]h!=0 [/size]
$ { ( a+2b+2c=0 ),( a+2b+c=0 ),( b+c=0 ):} { ( b=0 ),( a=-3c ),( b=-c ):} { ( b=0 ),( a=0 ),( b=0 ):} $
Questi tre vettori sono indipendenti per h!=0 e quindi l'omomorfismo esiste ed è unico.Questi tre vettori però non sono una base del nucleo e il nucleo avrà dimensione 0.
Ora è richiesto di determinare la matrice associata nelle basi canoniche per il più piccolo valore di h.Prendiamo h=1
quindi i nostri vettori diventeranno cosi :
f $ [ ( 1 ),( 1 ),( 0 ) ] $ = $ [ ( 2 ),( 1 ) ] $ , f $ [ ( 1 ),( 2 ),( 1 ) ] $ = $ [ ( 0 ),( 1 ) ] $ e $ [ ( 2 ),( 1 ) , ( 1 ) ] $
Per costruire la matrice bisogna quindi cercare i trasformati dei vettori della base assegnata per il dominio, ovvero la base canonica. Chiameremo i,j,k i vettori della base canonica de dominio e u,v quelli del codominio.
Ora mi trovo completamente spiazzato sul metodo per trovare le immagini dato che si passa da vettori di 3 righe a vettori di 2 righe. Se fossero stati vettori entrambi di 3 righe avrei provato a scrivere i vettori della base come somma/sottrazione di due vettori.
Sono proprio spiazzato, spero che qualcuno possa aiutarmi perchè gli esempi che ho trovato online non mi hanno chiarito la situazione.
[size=150]Questa è la traccia :[/size]
Per quali eventuali valori di h esiste un unico omomorfismo f :R3→R2 tale che
f $ [ ( 1 ),( 1 ),( 0 ) ] $ = $ [ ( 2 ),( 1 ) ] $ , f $ [ ( 1 ),( 2 ),( h ) ] $ = $ [ ( 0 ),( 1 ) ] $ e $ [ ( 2 ),( 1 ) , ( h ) ] $ appartenga al nucleo? Per il più piccolo valore intero positivo di h per cui esiste un unico omomorfismo, determinarne la matrice associata nelle basi canoniche sia per dominio che per codominio.
[size=150]Mio svolgimento :[/size]
Per prima ho pensato che per il teorema di determinazione di un omomorfismo, esiste un omomorfismo unico solo se i tre vettori assegnati nel dominio sono indipendenti. Per verificare quindi se questi sono indipendenti e se appartengono al nucleo ho provato a fare la combinazione lineare e uguagliarla a 0
$ { ( a+2b+2c=0 ),( a+2b+c=0 ),( hb+hc=0 ):} $
Quindi o h=0 o h=!0
[size=150]h=0 [/size]
$ { ( a+b+2c=0 ),( a+2b+c=0 ):}{ ( b=-c ),( a=-3c ):} $
Dato che i tre vettori sono dipendenti per h=0 l'omomorfismo non è unico
[size=150]h!=0 [/size]
$ { ( a+2b+2c=0 ),( a+2b+c=0 ),( b+c=0 ):} { ( b=0 ),( a=-3c ),( b=-c ):} { ( b=0 ),( a=0 ),( b=0 ):} $
Questi tre vettori sono indipendenti per h!=0 e quindi l'omomorfismo esiste ed è unico.Questi tre vettori però non sono una base del nucleo e il nucleo avrà dimensione 0.
Ora è richiesto di determinare la matrice associata nelle basi canoniche per il più piccolo valore di h.Prendiamo h=1
quindi i nostri vettori diventeranno cosi :
f $ [ ( 1 ),( 1 ),( 0 ) ] $ = $ [ ( 2 ),( 1 ) ] $ , f $ [ ( 1 ),( 2 ),( 1 ) ] $ = $ [ ( 0 ),( 1 ) ] $ e $ [ ( 2 ),( 1 ) , ( 1 ) ] $
Per costruire la matrice bisogna quindi cercare i trasformati dei vettori della base assegnata per il dominio, ovvero la base canonica. Chiameremo i,j,k i vettori della base canonica de dominio e u,v quelli del codominio.
Ora mi trovo completamente spiazzato sul metodo per trovare le immagini dato che si passa da vettori di 3 righe a vettori di 2 righe. Se fossero stati vettori entrambi di 3 righe avrei provato a scrivere i vettori della base come somma/sottrazione di due vettori.
Sono proprio spiazzato, spero che qualcuno possa aiutarmi perchè gli esempi che ho trovato online non mi hanno chiarito la situazione.
Risposte
non so se esista un metodo più breve
io farei così : detti $v_1,v_2,v_3$ i vettori della base che hai ha disposizione,troverei $a,b,c$ tali che $(1,0,0)=av_1+bv_2+cv_3$
a questo punto,si ha $f(1,0,0)=af(v_1)+bf(v_2)+cf(v_3)=af(v_1)+bf(v_2)$
analogamente si ragiona per gli altri 2 vettori della base canonica
io farei così : detti $v_1,v_2,v_3$ i vettori della base che hai ha disposizione,troverei $a,b,c$ tali che $(1,0,0)=av_1+bv_2+cv_3$
a questo punto,si ha $f(1,0,0)=af(v_1)+bf(v_2)+cf(v_3)=af(v_1)+bf(v_2)$
analogamente si ragiona per gli altri 2 vettori della base canonica
Ti ringrazio per la risposta,che non mi ha solo fornito il metodo per completare l'esercizio ma mi ha anche chiarito la situazione. Grazie 
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