Teorema spettrale dimostrazione?

[MementoMori2]

Ragazzi vi metto sotto la spiegazione del mio libro riguardo la dimostrazione del teorema spettrale di cui non ho ben capito come si dimostri :
1) che esista un vettore x di H ortogonale
2) dove sia l'assurdo

Grazie

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

Quella dimostrazione rimanda a un sacco di altri teoremi Un punto cruciale è nascosto: è il fatto che [tex]H^{\perp}[/tex] è [tex]f[/tex]-invariante. Questo è perché se A è la matrice di f e [tex]v \in H[/tex] è autovettore con autovalore [tex]a[/tex], [tex]w \in H^{\perp}[/tex] allora [tex](Aw)^Tv = w^T A^T v = w^T A v = w^T a v = a w^T v = 0[/tex]. Ora, se hai capito che la restrizione a [tex]H^{\perp}[/tex] ha un autovalore reale, considera un autovettore associato a tale autovalore. In quanto autovettore deve stare in [tex]H[/tex], d'altra parte sta anche in [tex]H^{\perp}[/tex] quindi è uguale a zero. Ecco l'assurdo: un autovettore non può essere zero.