Posizioni reciproche di 4 piani nello spazio

[WeP]

Salve, come potrei risolvere un esercizio di questo tipo?

Assegnati i piani
$\pi$[size=50]1[/size]: x +y +z = 1
$\pi$[size=50]2[/size]: αx -3y +2αz = α
$\pi$[size=50]3[/size]: 2x +5y -4z = 2
$\pi$[size=50]4[/size]: -3αy -z = α^2 -2α +5

Discutere la loro posizione reciproca al variare di α
Non importa che mi risolviate l'esercizio con i calcoli, vorrei solo sapere quali le possibili configurazioni che 4 piani possono assumere (in un generico esercizio con 4 generici piani) e come posso determinarle sfruttando il teorema di Rouche-Capelli sul calcolo del rango della matrice completa e incompleta associate al sistema

[kobeilprofeta]

In 4 dimensioni, due piani distinti possono essere:
-paralleli
-intersecarsi in una retta
-intersecarsi in un punto

ti do questo consiglio:
Se ti trovi in uno spazio n dimensionale e hai due "oggetti" di dimensione r ed s, allora:
Se non sono paralleli, la dimensione della loro intersezione minima risulta:
$r+s-n$
con l'accortezza che un numero negativo significa il vuoto, mentre zero significa un punto.

ti faccio due esempi, prendi due piani, r=s=2
allora nello spazio 3 dimensionale hanno intersezione minima=2+2-3=1, cioè una retta
nello spazio a 4 dimensioni, hanno 2+2-4=0... quindi possono incontrarsi anche in un solo punto...