Quadriche in forma canonica
Dire a quale classe di quadriche appartiene, determinando a quale equazione canonica può essere ricondotta con metodi
elementari non matriciali
$(x-2y)^2+2(x+z+1)^2-z^2+1 = 0$
Ora questa è la risoluzione:
Nell’equazione $(x-2y)^2+2(x+z+1)^2-z^2+1 = 0$ viene spontaneo porre $X = x-2y, Y = x+z+1, Z = z$, ottenendo la nuova
equazione $X^2 + 2Y^2 - Z^2 = -1$, che è canonica. Ma bisogna osservare che la matrice E dei coefficienti di x;y; z nella sostituzione in X,Y,Z è sì una matrice regolare, ma non è affatto una matrice ortogonale (seconda e terza colonna non ortogonali, e di norma diversa da 1). Pertanto tale sostituzione rappresenta un cambiamento di riferimento non cartesiano ($E^t$ è diversa da $E^(-1)$): ci modifica completamente i valori dei coefficienti $1/a^2; 1/b^2; 1/c^2$ dell’equazione canonica euclidea ma non ne cambia il segno in quanto la nuova matrice $M'_00$ è congruente alla precedente $M_00$ ($M_00=E^TM'_00E$). Quindi, pur non sapendo i coefficienti esatti dell’equazione canonica, sappiamo che è del tipo $X^2/a^2+Y^2/b^2 -Z^2/c^2 =-1$ con $a>=b,c$ incogniti. La classe degli iperboloidi non rigati o ellittici, il cui supporto ricorda vagamente un calice con la sua immagine speculare su un tavolo lucido, corrisponde a tale tipo d’equazione canonica euclidea.
Ora per verificare $M_00=E^TM'_00E$ la matrice $M_00$ sarebbe quella dei coefficienti quadratici dell'equazione non canonica ma che matrice è $M'_00$, quella diagonale degli autovalori della matrice $M_00$?
elementari non matriciali
$(x-2y)^2+2(x+z+1)^2-z^2+1 = 0$
Ora questa è la risoluzione:
Nell’equazione $(x-2y)^2+2(x+z+1)^2-z^2+1 = 0$ viene spontaneo porre $X = x-2y, Y = x+z+1, Z = z$, ottenendo la nuova
equazione $X^2 + 2Y^2 - Z^2 = -1$, che è canonica. Ma bisogna osservare che la matrice E dei coefficienti di x;y; z nella sostituzione in X,Y,Z è sì una matrice regolare, ma non è affatto una matrice ortogonale (seconda e terza colonna non ortogonali, e di norma diversa da 1). Pertanto tale sostituzione rappresenta un cambiamento di riferimento non cartesiano ($E^t$ è diversa da $E^(-1)$): ci modifica completamente i valori dei coefficienti $1/a^2; 1/b^2; 1/c^2$ dell’equazione canonica euclidea ma non ne cambia il segno in quanto la nuova matrice $M'_00$ è congruente alla precedente $M_00$ ($M_00=E^TM'_00E$). Quindi, pur non sapendo i coefficienti esatti dell’equazione canonica, sappiamo che è del tipo $X^2/a^2+Y^2/b^2 -Z^2/c^2 =-1$ con $a>=b,c$ incogniti. La classe degli iperboloidi non rigati o ellittici, il cui supporto ricorda vagamente un calice con la sua immagine speculare su un tavolo lucido, corrisponde a tale tipo d’equazione canonica euclidea.
Ora per verificare $M_00=E^TM'_00E$ la matrice $M_00$ sarebbe quella dei coefficienti quadratici dell'equazione non canonica ma che matrice è $M'_00$, quella diagonale degli autovalori della matrice $M_00$?
Risposte
Forse sarebbe bene che tu ti risponda da solo a questa domanda: il concetto di quadrica è affine o metrico ma non affine?
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