Matrice Semidefinita Positiva e Nucleo...dubbio

[Trimeriot]

Sia $R$ una matrice simmetrica e semi-definita positiva di ordine $n$ e $V(x)=x^TRx$ la relativa forma quadratica.
Dato $v\ne 0$ tale che $V(v)=0$, posso affermare che $v\in Ker(R)$ ?

Se sì, come posso dimostrare questo risultato?
Grazie in anticipo

[elvis3]

Esiste una base \((e_1, \ldots, e_n)\) tale che \(R(e_k) = \lambda_k e_k\) con \(\lambda_k \geq 0\).
Perché non provi a scrivere \(v = \sum_i v_i e_i\)?

[Trimeriot]

Ho provato, ma purtroppo senza arrivare ad alcun risultato. Ho provato anche a cercare controesempi ma tutto sembra confermare quanto penso. Puoi fornirmi qualche input in più?

[elvis3]

Esiste una base \( (e_1, \ldots, e_n) \) tale che \( R(e_k) = \lambda_k e_k \) con \( \lambda_k \geq 0 \).
Perché non provi a scrivere \( v = \sum_i v_i e_i \)?

Per prima cosa, possiamo notare che\[v \in \ker R \Longleftrightarrow \lambda_kv_k = 0 \,\, \forall \,k \Longleftrightarrow \lambda_k v_k^2 = 0 \,\, \forall \, k\]Poi, basta ricavare[nota]La base \((e_1,\ldots,e_n)\) possiamo prenderla ortogonale rispetto al prodotto scalare standard \((\, , \,)\) su \(\mathbb{R}^n\) (Teorema Spettrale)[/nota]\[0 = V(v) = (Rv,v) = \sum_{k = 1}^n \lambda_k v_k^2\]

[Trimeriot]

Perfetto, capito tutto! Ovviamente l'ipotesi di semi-definitezza la utilizzo alla fine nel provare che la forma quadratica è nulla se e solo se $\lambda_kv_k^2=0, \forall k$.

Grazie di nuovo!