Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Buongiorno!!
Vorrei una delucidazione.
Ho il seguente esercizio:
Data $g$ forma bilineare simmetrica su $R^3$, avente matrice associata rispetto alla base canonica:
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0\\
1 & 2 & 1\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
si stabilisca se l'endomorfismo di $R^3$: $f(x,y,z)= (x+3y-z, x, -x-y+z)$ è autoaggiunto rispetto a $g$.
Io so che $f$ autoaggiunto per definizione: $g(f(v),w) = g(v, f(w))$
In questo esercizio, devo applicare la definizione ...
Sera ragazzi, ho riscontrato un problema nel secondo punto di questo esercizio:
Dati i vettori:
$x=i−j+2hk$, $ y=hi+hj−2k $ , $ z=i, $ $h∈R, $
1. esistono dei valori di h per cui i tre vettori risultino complanari?
2. Esistono dei valori di h per cui il vettore x bisechi l’angolo formato da y e da z?
Per il primo punto molto semplicemente verifico che i vettori siano linearmente dipendenti. Infatti ho ricavato che lo sono per $h=+-1$.
Il secondo punto ...
Ho il seguente esercizio:
Dati i vettori $(P-O)$= 2i + j - k e $(Q-O)$= 3i +3j +9k
Determinare, se esistono, i vettori $vecv$ tali che $ vecv \wedge (P-O) = (Q-O) $
Dove con i,j,k ho indicato i versori della terna $Oxyz$ e con $\wedge$ il prodotto vettoriale.
Siccome $(P-O)$ e $ (Q-O)$ sono tra loro $\bot$ allora esistono i vettori $vecv$ cercati e in particolare sono infiniti.
Quello che non mi è chiaro è come ...
Buongiorno ragazzi,
studiando algebra lineare mi sono imbattuto in questo esempio, ma non riesco a capire un passaggio, potete gentilmente spiegarmelo voi?
sia $f:R^3 -> R^2$ l'omomorfismo definito da $f(x,y,z)=(x+y,y+z)$
I vettori $ e_1(1,0,0), e_2(1,1,0), e_3(1,1,1) $ sono una base di $R^3$
I vettori $ f_1(1,1), f_2(2,1) $ sono una base di $R^2$
Calcolo l'immagine dei vettori $e_1, e_2, e_3$ che mi viene uguale a:
$ f(e_1)=f(1,0,0)=(1,0)$
$f(e_2)=f(1,1,0)=(2,1)$
$f(e_3)=f(1,1,1)=(2,2) $
Ora l'esempio va ...
la quadrica è questa ( è un paraboloide a sella ) :
x^2 - y^2 -2y +z =0
raccogliendo il meno e completando il quadrato sulla variabile y si ottiene
l'equazione (forma traslata ) :
x^2 - (y+1)^2 = -(z+1)
applichiamo la formula per ottenere l'equazione del piano tangente alla
quadrica nel punto P(x',y',z') , precisamente l'origine : P(0,0,0) :
xx' - (y+1)(y'+1) = -1/2[(z+1)+(z'+1)]
Ciao a tutti.
Dato $V=M_n(K)$ dire se $T_3=\{A\in V$ tale che $A A^{T}=0\}$ è un sottospazio vettoriale di $V$.
A me sembra che non lo sia ma non riesco a trovare un controesempio per la somma. Mi potreste aiutare?:)
Grazie!!
Salve
una cosa veloce per voi sicuramente. Una curiosità che mi è venuta mentre davo ripetizioni di scienza delle costruzioni ad un mio allievo
Ho questo cerchio
https://www.dropbox.com/s/4j34pc3a6ivua%20...%20a.PNG?dl=0
Potete dimostrarmi perchè y è 2x (da sottolineare che x è l'angolo di quella linea rispetto all'orizzontale) distinguendo anche il caso il centro è interno ed esterno all'angolo x?
Grazie
1. In $ S(R^{3,3}) $ è dato il sottoinsieme:
$ A=((x_1,x_2,3),(x_2,x_4,x_5),(x_3,x_5,x_6))$ $ ∈S(R^{3,3}) $ | $ x_1+2x_4−x_6 =−x_2+2x_6 =x_3+3x_5 =0 } $,
verificare che $A$ è un sottospazio vettoriale di $ S(R^{3,3}) $ e calcolarne la dimensione e una base.
2. Determinare la dimensione e una base di un sottospazio vettoriale $H$ di $ S(R^{3,3}) $ supplementare di A .
3. Decomporre la matrice:
A'=$((0,1,2),(1,3,1),(2,1,5))$
nella somma di una matrice di A e di una matrice di H .
Il problema sorge nel ...
Sera , ho il seguente esercizio:
In $R^6$ si considerino i sottospazi vettoriali $W_1$ di dimensione 4 e $W_2$ di dimensione 2, si determinino tutte le possibili dimensioni di $W1 + W2 $ e di$ W1 ∩ W2 $.
Per svolgere questo esercizio, prendo come riferimento la Formula di Grassmann ovvero : $dim(W_1+W_2)=dim(W_1)+dim(W_2)-dim(W_1 nn W_2)$
Lavoro sulla $dim(W_1+W_2)$ tale che: se $dim(W_1+W_2)=6$(caso massimo) ,dove $W_1+W_2$ è la somma di tutti i vettori della ...
Ciao ragazzi,
l'esercizio mi chiede di determinare il punto di intersezione tra la retta $r:{(x-y+2z+1=0),(2x+3y-z+2=0):}$ e il piano $π: 3x+5y-z+3=0$, questo punto l'ho risolto: $P_(πnnr)=(1,0,0)$
Dopodiché mi chiede di determinare una retta $s$ giacente su $π$ e sghemba con $r$, qui una volta trovata la direzione di $r$ mi blocco.
Sapete aiutarmi?
Ciao ragazzi, volevo chiedervi se il mio ragionamento era giusto.
Dato uno spazio vettoriale $P_4={a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+a_4x^4 in RR}$ e il sottospazio $S={p(x) in P_4 : p(0)=1}$.
Esistenza del vettore nullo:
verificata già dalla condizione $p(0)=1$
Quindi $a_0=1$ $AA a_i in RR , i=(0,1,2,3,4)$
S è chiuso rispetto alla somma:
$a_0+a_1(0)+a_2(0)^2+a_3(0)^3+a_4(0)^4+b_0+b_1(0)+b_2(0)^2+b_3(0)^3+b_4(0)^4=1$
$a_0+b_0=1$ $AA a_i, b_i in RR , i=(0,1,2,3,4)$
S è chiuso rispetto al prodotto per uno scalare:
$\lambda(a_0+a_1(0)+a_2(0)^2+a_3(0)^3+a_4(0)^4)=1$
$\lambdaa_0=1$ $AA\lambda in K , AA a_i in RR , i=(0,1,2,3,4)$
Perciò ne deduco ...
Buongiorno ragazzi, mi si presenta il seguente esercizio:
Siano :
$W1$ il sottospazio vettoriale di R$^3$ generato dai vettori: $u_1 = (1,1,−1)$ , $u_2 = (2,−1,1)$ ,
$W2$ il sottospazio vettoriale di $R^3$ generato dai vettori: $ v_1 = (1,2,−1) $, $ v_2 = (−1,−1,2) $.
Trovare la dimensione e una base di $ W1 ∩ W2 $ .
Per risolvere questo esercizio, ho impostato tale condizione:
$\lambda_1 u_1 + \lambda_2 u_2 $= $ \lambda_3 v_1+ \lambda_4 v_2$
Fatto questo, mi ...
Determinare la retta $rsubE^3$ passante per il punto $C(0,0,3)$ e parallela ai piani $alpha: x+2y+3z+4=0$ e $beta: x+y+kz=0$. Se la retta $r$ equidista dagli assi $x$ e $y$, quanto vale $k$ ?
Per quanto riguarda la la prima richiesta credo si possa risolvere in questo modo:
$\{(x+2y+3(z-3)=0),(x+y+k(z-3)=0):}$
che diventa
$\{(x+2y+3z-9=0),(x+y+kz-3k=0):}$
che quindi sarebbe la retta richiesta
Ma (sempre se il procedimento sopra è corretto) per ...
Ciao a tutti, è la prima volta che scrivo in questo forum anche se spesso mi è capitato di consultarlo per trovare risposte a diversi dubbi o esercizi.
Vi sottopongo questo problema che mi assilla da ieri pomeriggio e non riesco a risolvere.
Premetto che sono un po' arrugginita con dimostrazioni/teoria perchè queste cose le ho studiate anni fa all'università; ora sto studiando per prepararmi ad un test ma alcune nozioni non mi sono proprio fresche, ecco.
L'esercizio è il seguente:
Sia ...
Ciao a tutti ragazzi,
non riesco a risolvere un esercizio che mi chiede di determinare tutti i piani a distanza 3 dal piano contenente l'asse x e l'asse y.
Il mio ragionamento è il seguente:
definita la distanza euclidea come $d(P,π)=(|ax_p+by_p+cz_p+d|)/(sqrt(a^2+b^2+c^2))$
e avente come piano $π: z=0$
però non riesco ad applicarlo, o probabilmente sto sbagliando.
Ciao, vorrei capire il metodo più veloce per passare da:
\(\displaystyle cos(4\pi t)+sin(4\pi t) \)
a
\(\displaystyle \sqrt{2} sin(4\pi t + \frac{\pi}{4}) \)
E' necessario per forza trasformare il seno in coseno, poi usare la formula di prostaferesi di sin(p)+sin(q) e poi Werner? O magari c'è un metodo più ingegneristico attraverso esponenziale complesso e/o eulero?
Grazie
TUTTO CIO' mi serve per determinare l'ampiezza di quel segnale, non tanto la forma esatta del seno quindi se ci ...
Il prodotto vettoriale è definito solamente in uno spazio tridimensionale?
Come mai non si definisce, ad esempio, in $\mathbb {R^4}$, $\mathbb {R^5}$ ecc...
Salve a tutti,
Sugli appunti del mio corso c'è scritta questa cosa:
(Siamo in uno spazio vettoriale di dimensione finita su campo di caratteristica $0$.)
"Supponiamo che $\exists \mathcal{B}$ base ortoGONALE rispetto ad un prodotto scalare $\phi$ non degenere. Allora:
$f$ è autoaggiuntob se e solo se $A:=[f]_{\mathcal{B}}$ è tale che $A=A^T$."
Ora, io non sono molto d'accordo. Se prendo $V=\mathbb{R}^2$ ed il prodotto scalare dato dalla matrice ...
Sia dato uno spazio di Hilbert $ H $ infinito dimensionale, sia $ X $ un sottoinsieme compatto di $ H $ contenente infiniti elementi, inoltre $ w in H $ ed è tale che $ AA x in X $ il prodotto scalare $ <x,w> =k $ con $ k $ costante e diverso da $ 0 $
Da queste ipotesi è possibile avere qualche "informazione" su $ w $ ?
Esiste qualche teorema che "comprende" queste ipotesi ?
Qualsiasi informazioni mi ...
Salve a tutti.
Ho questo dubbio:
Sia $V=\mathbb{F}_2^2$, sia $\phi$ un prodotto scalare la cui matrice nella base canonica è la seguente: $M=((0,1),(1,0))$. Ho che $V={((0),(0)),((1),(0)),((0),(1)),((1),(1))}$ (tutti isotropi).
Il prodotto scalare di una qualsiasi coppia di vettori di $V$ che non contenga il vettore nullo è $1$.
Uno si potrebbe chiedere quale sia la segnatura di $\phi$...
Stando alla definizione, quello che possiamo dire di sicuro è che l'indice di ...
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