Equazione retta passante per un punto, parallela a due piani
Determinare la retta $rsubE^3$ passante per il punto $C(0,0,3)$ e parallela ai piani $alpha: x+2y+3z+4=0$ e $beta: x+y+kz=0$. Se la retta $r$ equidista dagli assi $x$ e $y$, quanto vale $k$ ?
Per quanto riguarda la la prima richiesta credo si possa risolvere in questo modo:
$\{(x+2y+3(z-3)=0),(x+y+k(z-3)=0):}$
che diventa
$\{(x+2y+3z-9=0),(x+y+kz-3k=0):}$
che quindi sarebbe la retta richiesta
Ma (sempre se il procedimento sopra è corretto) per determinare k come potrei\dovrei procedere?
Per quanto riguarda la la prima richiesta credo si possa risolvere in questo modo:
$\{(x+2y+3(z-3)=0),(x+y+k(z-3)=0):}$
che diventa
$\{(x+2y+3z-9=0),(x+y+kz-3k=0):}$
che quindi sarebbe la retta richiesta
Ma (sempre se il procedimento sopra è corretto) per determinare k come potrei\dovrei procedere?
Risposte
I due piani sono dei piani cartesiani con parametro variabile, perciò dovremmo scomporre il caso.
(Non effettuo calcoli, mi dedico solo a spiegare cosa potrebbe accadere)
Se i due piani $π_1$ e $π_2$ sono coincidenti ($rk(A^S)=rk(A^S|b)=1$ il sistema è compatibile per Rouchè-Capelli e possiede $oo^2 soluzioni$) perciò la retta parallela ai piani sarà una qualsiasi retta $in π$ (ortogonale alla direzione dei piani).
Nel caso in cui i piani fossero incidenti, allora $rk(A^S)=rk(A^S|b)=2$ lo spazio delle soluzioni del sistema possiede $oo^1$ soluzioni, ossia una retta. Risolvendo il sistema ti ritroverai ad una retta in forma parametrica (in tal caso basterà cambiare i punti di incrocio $(x_o , y_o , z_o)$ per determinare la retta da te cercata.
Per quanto riguarda una retta parallela a due piani paralleli (non coincidenti), avrai che $rk(A^S)<2$ e $rk(A^S|b)=2$, quindi un sistema incompatibile per il teorema di Rouchè-Capelli, quindi le soluzioni non appartengono al sistema.
Anche in questo caso determini la direzione ortogonale ai piani (direzione della retta) e imponi il passaggio per il punto da te desiderato.
(Non effettuo calcoli, mi dedico solo a spiegare cosa potrebbe accadere)
Se i due piani $π_1$ e $π_2$ sono coincidenti ($rk(A^S)=rk(A^S|b)=1$ il sistema è compatibile per Rouchè-Capelli e possiede $oo^2 soluzioni$) perciò la retta parallela ai piani sarà una qualsiasi retta $in π$ (ortogonale alla direzione dei piani).
Nel caso in cui i piani fossero incidenti, allora $rk(A^S)=rk(A^S|b)=2$ lo spazio delle soluzioni del sistema possiede $oo^1$ soluzioni, ossia una retta. Risolvendo il sistema ti ritroverai ad una retta in forma parametrica (in tal caso basterà cambiare i punti di incrocio $(x_o , y_o , z_o)$ per determinare la retta da te cercata.
Per quanto riguarda una retta parallela a due piani paralleli (non coincidenti), avrai che $rk(A^S)<2$ e $rk(A^S|b)=2$, quindi un sistema incompatibile per il teorema di Rouchè-Capelli, quindi le soluzioni non appartengono al sistema.
Anche in questo caso determini la direzione ortogonale ai piani (direzione della retta) e imponi il passaggio per il punto da te desiderato.
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