$f$ autoaggiunto

[alfiere15]

Buongiorno!!
Vorrei una delucidazione.
Ho il seguente esercizio:
Data $g$ forma bilineare simmetrica su $R^3$, avente matrice associata rispetto alla base canonica:
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0\\
1 & 2 & 1\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
si stabilisca se l'endomorfismo di $R^3$: $f(x,y,z)= (x+3y-z, x, -x-y+z)$ è autoaggiunto rispetto a $g$.

Io so che $f$ autoaggiunto per definizione: $g(f(v),w) = g(v, f(w))$
In questo esercizio, devo applicare la definizione o c'è un modo più rapido?

[dissonance]

Secondo me ti conviene applicare la definizione. L'unico teorema che ti aiuta a stabilire velocemente se un endomorfismo è autoaggiunto è il criterio della matrice simmetrica: $f$ è autoaggiunto se e solo se la matrice che lo rappresenta rispetto ad una base ortonormale è simmetrica. Ma in questo esercizio, prima di tutto dovresti trovare una base ortonormale e poi scrivere la matrice di $f$ in questa base, e sono bei conti. Fai prima con la definizione