Problema con matrici nilpotenti
Ciao a tutti, è la prima volta che scrivo in questo forum anche se spesso mi è capitato di consultarlo per trovare risposte a diversi dubbi o esercizi.
Vi sottopongo questo problema che mi assilla da ieri pomeriggio e non riesco a risolvere.
Premetto che sono un po' arrugginita con dimostrazioni/teoria perchè queste cose le ho studiate anni fa all'università; ora sto studiando per prepararmi ad un test ma alcune nozioni non mi sono proprio fresche, ecco.
L'esercizio è il seguente:
Sia $S$ un sottoinsieme di Mat 3x3$($ $RR$ $)$ così fatto $S$= ${$ X^2+X+3$I$ | X $\in$Mat 3x3$($ $RR$ $)$ $}$.
Provare se contiene matrici nilpotenti.
Ora, delle matrici nilpotenti (oltre alla condizione necessaria e sufficiente, ovvero che esiste un intero positivo $m$ tale per cui la matrice elevata alla $m$ dà la matrice nulla), conosco alcune condizioni necessarie, ovvero:
-traccia nulla,
-determinante nullo,
-un unico autovalore uguale a zero,
che potrei utilizzare nel mio esercizio per arrivare ad un assurdo. Tuttavia, col determinante ci faccio ben poco visto che non è lineare....
Inoltre, so che l'indice di nilpotenza coincide con il massimo ordine del blocco di Jordan della forma canonica, ma non riesco a capire come potrei utilizzare questa condizione.
Io ho provato a ragionare procedendo per "gradi", ovvero: prendo A in $S$ e vedo cosa succede per A alla seconda, A alla terza, ecc facendo delle ipotesi sulla matrice X, ma così facendo mi sa che vado fuori strada.
Forse dovrei semplicemente dimostrare che gli elementi di $S$ hanno traccia non nulla?
Grazie infinite per il vostro aiuto
Vi sottopongo questo problema che mi assilla da ieri pomeriggio e non riesco a risolvere.
Premetto che sono un po' arrugginita con dimostrazioni/teoria perchè queste cose le ho studiate anni fa all'università; ora sto studiando per prepararmi ad un test ma alcune nozioni non mi sono proprio fresche, ecco.
L'esercizio è il seguente:
Sia $S$ un sottoinsieme di Mat 3x3$($ $RR$ $)$ così fatto $S$= ${$ X^2+X+3$I$ | X $\in$Mat 3x3$($ $RR$ $)$ $}$.
Provare se contiene matrici nilpotenti.
Ora, delle matrici nilpotenti (oltre alla condizione necessaria e sufficiente, ovvero che esiste un intero positivo $m$ tale per cui la matrice elevata alla $m$ dà la matrice nulla), conosco alcune condizioni necessarie, ovvero:
-traccia nulla,
-determinante nullo,
-un unico autovalore uguale a zero,
che potrei utilizzare nel mio esercizio per arrivare ad un assurdo. Tuttavia, col determinante ci faccio ben poco visto che non è lineare....
Inoltre, so che l'indice di nilpotenza coincide con il massimo ordine del blocco di Jordan della forma canonica, ma non riesco a capire come potrei utilizzare questa condizione.
Io ho provato a ragionare procedendo per "gradi", ovvero: prendo A in $S$ e vedo cosa succede per A alla seconda, A alla terza, ecc facendo delle ipotesi sulla matrice X, ma così facendo mi sa che vado fuori strada.
Forse dovrei semplicemente dimostrare che gli elementi di $S$ hanno traccia non nulla?
Grazie infinite per il vostro aiuto
Risposte
Se calcoli la traccia ottieni che per ogni \( A \in S\) vale la seguente relazione
\[ \mathrm{tr}(A) = \mathrm{tr}(X^2) + \mathrm{tr}(X) + 9 \]
per una qualche matrice \( X. \) Se \(\alpha,\beta, \gamma\) sono gli autovalori di \(X\) allora abbiamo che
\[ \mathrm{tr}(A) = 0 \implies \alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 + \alpha + \beta + \gamma + 9 = 0. \]
L'equazione non ha soluzione per valori reali. Ha tuttavia soluzioni complesse. Possiamo in particolare scegliere un numero reale e due numeri complessi coniugati come soluzione. Per esempio possiamo scegliere
\[ \alpha = i\sqrt{\frac{11}{2}}, \; \beta = -i\sqrt{\frac{11}{2}}, \; \gamma = 1. \]
\[ \mathrm{tr}(A) = \mathrm{tr}(X^2) + \mathrm{tr}(X) + 9 \]
per una qualche matrice \( X. \) Se \(\alpha,\beta, \gamma\) sono gli autovalori di \(X\) allora abbiamo che
\[ \mathrm{tr}(A) = 0 \implies \alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 + \alpha + \beta + \gamma + 9 = 0. \]
L'equazione non ha soluzione per valori reali. Ha tuttavia soluzioni complesse. Possiamo in particolare scegliere un numero reale e due numeri complessi coniugati come soluzione. Per esempio possiamo scegliere
\[ \alpha = i\sqrt{\frac{11}{2}}, \; \beta = -i\sqrt{\frac{11}{2}}, \; \gamma = 1. \]
Giustissimo!! Grazie davvero!
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