Problema trigonometrico su somma di seno e coseno

[Netfrog]

Ciao, vorrei capire il metodo più veloce per passare da:

\(\displaystyle cos(4\pi t)+sin(4\pi t) \)

a

\(\displaystyle \sqrt{2} sin(4\pi t + \frac{\pi}{4}) \)

E' necessario per forza trasformare il seno in coseno, poi usare la formula di prostaferesi di sin(p)+sin(q) e poi Werner? O magari c'è un metodo più ingegneristico attraverso esponenziale complesso e/o eulero?

Grazie

TUTTO CIO' mi serve per determinare l'ampiezza di quel segnale, non tanto la forma esatta del seno quindi se ci fosse un modo solo per quella...

[apatriarca]

Suppongo che si possa per esempio provare a scrivere quella equazione come
\[ \Re(e^{4 \pi t i}) + \Im(e^{4 \pi t i}) = \frac{1}{2} ( e^{4 \pi t i} + e^{- 4 \pi t i} ) + \frac{1}{2 i} ( e^{4 \pi t i} - e^{- 4 \pi t i} ) \]
Moltiplico e divido tutto per \(i\) e raccolgo i termini diversamente per ottenere:
\[ \frac{1}{2i}\bigl( e^{4 \pi t i}\,(1 + i) - e^{- 4 \pi t i}\,(1 - i) \bigr) \]
A questo punto abbiamo che \( (1 + i) = \sqrt{2}\,e^{\pi i/4} \) e \( (1 - i) = \sqrt{2}\,e^{-\pi i/4} \) da cui ottengo che è tutto equivalente a
\[ \sqrt{2}\,\Im( e^{4 \pi t i} e^{\pi i/4} ) = \sqrt{2}\,\sin( 4 \pi t + \pi/4) \]
che è la formula che cercavi.

[Netfrog]

Grazie mille