Endomorfismi Autoaggiunti
Salve a tutti,
Sugli appunti del mio corso c'è scritta questa cosa:
(Siamo in uno spazio vettoriale di dimensione finita su campo di caratteristica $0$.)
"Supponiamo che $\exists \mathcal{B}$ base ortoGONALE rispetto ad un prodotto scalare $\phi$ non degenere. Allora:
$f$ è autoaggiuntob se e solo se $A:=[f]_{\mathcal{B}}$ è tale che $A=A^T$."
Ora, io non sono molto d'accordo. Se prendo $V=\mathbb{R}^2$ ed il prodotto scalare dato dalla matrice $((-1,0),(0,1))$ nella base canonica, l'endomorfismo $((0,1),(-1,0))$ è auto aggiunto.
Io dico che l'errore della proposizione consiste nel fatto che al posto di "ortogonale" ci andava "ortonormale".
Voi che dite? Grazie in anticipo per le eventuali risposte.
Sugli appunti del mio corso c'è scritta questa cosa:
(Siamo in uno spazio vettoriale di dimensione finita su campo di caratteristica $0$.)
"Supponiamo che $\exists \mathcal{B}$ base ortoGONALE rispetto ad un prodotto scalare $\phi$ non degenere. Allora:
$f$ è autoaggiuntob se e solo se $A:=[f]_{\mathcal{B}}$ è tale che $A=A^T$."
Ora, io non sono molto d'accordo. Se prendo $V=\mathbb{R}^2$ ed il prodotto scalare dato dalla matrice $((-1,0),(0,1))$ nella base canonica, l'endomorfismo $((0,1),(-1,0))$ è auto aggiunto.
Io dico che l'errore della proposizione consiste nel fatto che al posto di "ortogonale" ci andava "ortonormale".
Voi che dite? Grazie in anticipo per le eventuali risposte.
Risposte
La base che scegli nel tuo esempio e' ortornormale, quindi se il tuo esempio mostra un problema, questo resta anche cambiando l'ipotesi da ortogonale a ortonormale.
L'operatore che scegli non e' autoaggiunto. Il suo aggiunto e' in effetti la trasposta.
Si osservi la seconda risposta qui. In questa risposta si dimostra che l'aggiunto di un operatore scritto in una base e' uguale all'operatore trasposto scritto nella base duale.
Se una base e' ortogonale, allora (dopo l'identificazione dello spazio con il suo duale attraverso il prodotto scalare) coincide con la sua base duale (a meno di scalari). Ma gli scalari non cambiano la rappresentazione dell'operatore.
L'operatore che scegli non e' autoaggiunto. Il suo aggiunto e' in effetti la trasposta.
Si osservi la seconda risposta qui. In questa risposta si dimostra che l'aggiunto di un operatore scritto in una base e' uguale all'operatore trasposto scritto nella base duale.
Se una base e' ortogonale, allora (dopo l'identificazione dello spazio con il suo duale attraverso il prodotto scalare) coincide con la sua base duale (a meno di scalari). Ma gli scalari non cambiano la rappresentazione dell'operatore.
"Pappappero":
La base che scegli nel tuo esempio e' ortornormale, quindi se il tuo esempio mostra un problema, questo resta anche cambiando l'ipotesi da ortogonale a ortonormale.
L'operatore che scegli non e' autoaggiunto. Il suo aggiunto e' in effetti la trasposta.
Si osservi la seconda risposta qui. In questa risposta si dimostra che l'aggiunto di un operatore scritto in una base e' uguale all'operatore trasposto scritto nella base duale.
Se una base e' ortogonale, allora (dopo l'identificazione dello spazio con il suo duale attraverso il prodotto scalare) coincide con la sua base duale (a meno di scalari). Ma gli scalari non cambiano la rappresentazione dell'operatore.
Grazie del link. Ora me lo leggo! Comunque, come giustamente fai notare, il mio controesempio è sbagliato. Tuttavia questo dovrebbe andare bene (nelle stesse ipotesi di cui sopra):
$A=((0,-1),(2,0))$ ed $M=((-2,0),(0,1))$. Dove $A$ è la matrice di un endomorfismo auto aggiunto e non simmetrico rispetto ad un prodotto scalare $M$ espresso in base canonica (ortogonale ma non ortonormale).
Grazie della pazienza.
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