Prodotto vettoriale
Il prodotto vettoriale è definito solamente in uno spazio tridimensionale?
Come mai non si definisce, ad esempio, in $\mathbb {R^4}$, $\mathbb {R^5}$ ecc...
Come mai non si definisce, ad esempio, in $\mathbb {R^4}$, $\mathbb {R^5}$ ecc...
Risposte
Il prodotto vettoriale è una operazione binaria solamente in \(\mathbb{R}^3\); in generale, il cross product di $n-1$ vettori in \(\mathbb{R}^n\) restituisce un vettore \(v = \text{crs}(v_1, \dots, v_{n-1})\) con la proprietà che $v$ giace nell'ortogonale di \(\langle v_1,\dots,v_[n-1}\rangle\) e \(\|v\|\) è il volume dell'edro generato dai vettori $v_1,...,v_{n-1}$.
Ci sono diversi modi di vedere il prodotto vettoriale di due vettori in \(\mathbb{R}^3\): tutti ruotano attorno al fatto che $n=3$ è l'unica soluzione naturale di \(\frac{n(n-1)}{2}=n\).
Uno di questi modi è quello che ti fa guardare \(w\mapsto v\times w\) come una matrice antisimmetrica (prova a scriverne le entrate!), e che dunque ti dà un isomorfismo tra queste e i vettori di $R^3$.
Ci sono diversi modi di vedere il prodotto vettoriale di due vettori in \(\mathbb{R}^3\): tutti ruotano attorno al fatto che $n=3$ è l'unica soluzione naturale di \(\frac{n(n-1)}{2}=n\).
Uno di questi modi è quello che ti fa guardare \(w\mapsto v\times w\) come una matrice antisimmetrica (prova a scriverne le entrate!), e che dunque ti dà un isomorfismo tra queste e i vettori di $R^3$.
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