Sostegno di una curva
Buondì!
Non riesco a determinare il sostegno della curva di equazioni: $(4x^{2}+y^{2})^{3/2}+8x^{2}=2y^{2}$
Qualche suggerimento?
Grazie
Non riesco a determinare il sostegno della curva di equazioni: $(4x^{2}+y^{2})^{3/2}+8x^{2}=2y^{2}$
Qualche suggerimento?
Grazie
Risposte
In che senso lo vuoi determinare? Stai cercando delle equazioni parametriche? Vorrei trasformare l'equazione che gia' hai in un'equazione polinomiale? Sono variabili reali?
Sì, vorrei capire se posso trovare equazioni parametriche e/o polinomiali per capire come è fatta questa curva. Sono variabili reali.
Inizierei a scrivere l'equazione come:
\[
(4x^2+y^2)^3=(2y^2-8x^2)^2\\
(4x^2+y^2)^3=4(y^2-4x^2)^2
\]
ponendo:
\[
\begin{cases}
u=4x^2+y^2\\
v=y^2-4x^2
\end{cases}\\
\begin{cases}\displaystyle{
y^2=\frac{u+v}{2}\\
x^2=\frac{u-v}{8}}
\end{cases}
\]
quindi delle equazioni parametriche della curva sono:
\[
\begin{cases}\displaystyle{
y^2=\frac{u+v}{2}\\
x^2=\frac{u-v}{8}\\
u^3=4v^2}
\end{cases}.
\]
\[
(4x^2+y^2)^3=(2y^2-8x^2)^2\\
(4x^2+y^2)^3=4(y^2-4x^2)^2
\]
ponendo:
\[
\begin{cases}
u=4x^2+y^2\\
v=y^2-4x^2
\end{cases}\\
\begin{cases}\displaystyle{
y^2=\frac{u+v}{2}\\
x^2=\frac{u-v}{8}}
\end{cases}
\]
quindi delle equazioni parametriche della curva sono:
\[
\begin{cases}\displaystyle{
y^2=\frac{u+v}{2}\\
x^2=\frac{u-v}{8}\\
u^3=4v^2}
\end{cases}.
\]
Grazie ma per parametriche intendevo
$x(t)=...$ $y(t)=...$ ma forse non è possibile.
In quanto dovrei calcolare l'integrale curvilineo di questa forma differenziale lungo la curva:
$\omega=\frac{2(y^{2}-x^{2}-1)}{((y+1)^{2}+x^{2})((y-1)^{2}+x^{2})}dx+\frac{-4xy}{((y+1)^{2}+x^{2})((y-1)^{2}+x^{2})}dy$
$x(t)=...$ $y(t)=...$ ma forse non è possibile.
In quanto dovrei calcolare l'integrale curvilineo di questa forma differenziale lungo la curva:
$\omega=\frac{2(y^{2}-x^{2}-1)}{((y+1)^{2}+x^{2})((y-1)^{2}+x^{2})}dx+\frac{-4xy}{((y+1)^{2}+x^{2})((y-1)^{2}+x^{2})}dy$
Eh no!
Riesci a trovare una parametrizzazione in \(\displaystyle t\) della curva \(\displaystyle u^3=4v^2\)? Ti può essere utile riscriverla come \(\displaystyle u^3=(2v)^2\).
Riesci a trovare una parametrizzazione in \(\displaystyle t\) della curva \(\displaystyle u^3=4v^2\)? Ti può essere utile riscriverla come \(\displaystyle u^3=(2v)^2\).
$v=t$
$u=t^{2/3}$
Ma poi non riesco a calcolare l'integrale con questa sostituzione.
$u=t^{2/3}$
Ma poi non riesco a calcolare l'integrale con questa sostituzione.
A parte che è sbagliata; se poni \(\displaystyle u=t^2\) allora...
Se $u=t^2$ allora $v=1/2 t^3$
Ma come può aiutarmi per risolvere l'integrale?
Ma come può aiutarmi per risolvere l'integrale?
Avendo trovato $u$ e $v$ in funzione di $t$, ti trovi $x$ e $y$ in funzione del parametro!
Grazie mille.
Ho calcolato ed ho ottenuto:
$|y|=\frac{|t|\sqrt{2+t}}{2}$ ed $|x|=\frac{|t|\sqrt{2-t}}{4}$ con $t\in [-2,2]$
Quindi per calcolare l'integrale curvilineo dovrei sostituire ma facendo i calcoli non sono arrivato ad una formula semplice.
Altri suggerimenti? Avevo pensato di determinare una primitiva per $\omega$ e poi calcolarla nei due punti $(1,0)$ e $(0,2)$
che sono gli estremi del supporto della curva, ma non riesco a determinarla.
Ho calcolato ed ho ottenuto:
$|y|=\frac{|t|\sqrt{2+t}}{2}$ ed $|x|=\frac{|t|\sqrt{2-t}}{4}$ con $t\in [-2,2]$
Quindi per calcolare l'integrale curvilineo dovrei sostituire ma facendo i calcoli non sono arrivato ad una formula semplice.
Altri suggerimenti? Avevo pensato di determinare una primitiva per $\omega$ e poi calcolarla nei due punti $(1,0)$ e $(0,2)$
che sono gli estremi del supporto della curva, ma non riesco a determinarla.
Io noterei che le funzioni componenti di \(\displaystyle\omega\) e il sostegno della curva \(\displaystyle C\) sono simmetrici rispetto agli assi coordinati: potrebbe essere utile?
In realtà devo integrare non su tutta la curva ma soltanto sul sostegno della curva nel primo e quarto quadrante.
Però non riesco ad andare avanti.
Però non riesco ad andare avanti.
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