Conservazione dipendenza lineare
Salve a tutti, il docente del mio corso di Geometria e Algebra Lineare ci ha lasciato alcune affermazioni da confutare o dimostrare per casa ed una è la seguente:
Comunque dati due spazi vettoriali Vk e Wk, una funzione lineare L:V ->W non iniettiva e una famiglia di vettori F=v1,v2,...,vr
in V linearmente indipendenti, la famiglia L(F)=L(v1),L(v2),...,L(vr) risulta linearmente dipendente.
Chiedo aiuto per la risoluzione poiché questo esercizio era stato indicato come particolarmente semplice ma io non ci sono proprio riuscito. Ho letto il regolamento riguardante i nuovi post ma onestamente ho praticamente nulla a titolo del mio sforzo, però questo è il secondo sabato che ci provo quindi spero mi possiate aiutare.
L'unica cosa che ho "concluso" è che dim kerL >0
Grazie in anticipo
Comunque dati due spazi vettoriali Vk e Wk, una funzione lineare L:V ->W non iniettiva e una famiglia di vettori F=v1,v2,...,vr
in V linearmente indipendenti, la famiglia L(F)=L(v1),L(v2),...,L(vr) risulta linearmente dipendente.
Chiedo aiuto per la risoluzione poiché questo esercizio era stato indicato come particolarmente semplice ma io non ci sono proprio riuscito. Ho letto il regolamento riguardante i nuovi post ma onestamente ho praticamente nulla a titolo del mio sforzo, però questo è il secondo sabato che ci provo quindi spero mi possiate aiutare.
L'unica cosa che ho "concluso" è che dim kerL >0
Grazie in anticipo
Risposte
Ti consiglio di sfruttare la definizione di vettori linearmente dipendenti:
i vettori \(v_1, ..., v_n \in V\) si dicono linearmente dipendenti se esiste una ennupla non nulla: \(\exists \alpha_1, ..., \alpha_n: \exists i \in [1;n]: \alpha_i \neq 0\) per cui risulta che \(\alpha_1v_1 + ... + \alpha_nv_n = 0_V \), dove \(0_V\) è il vettore nullo dello spazio vettoriale \( V\) e \(\alpha_i \in \mathbb{K}\) cioè il campo sul quale lo spazio vettoriale è definito. A questo punto puoi, partendo dalla suddetta proprietà di dipendenza lineare della famiglia \(v_i \in V\) dimostrare, attraverso le due fondamentali proprietà dell'applicazione lineare \( L\), anche la dipendenza lineare della loro immagine \(L(v_i) \in W\).
i vettori \(v_1, ..., v_n \in V\) si dicono linearmente dipendenti se esiste una ennupla non nulla: \(\exists \alpha_1, ..., \alpha_n: \exists i \in [1;n]: \alpha_i \neq 0\) per cui risulta che \(\alpha_1v_1 + ... + \alpha_nv_n = 0_V \), dove \(0_V\) è il vettore nullo dello spazio vettoriale \( V\) e \(\alpha_i \in \mathbb{K}\) cioè il campo sul quale lo spazio vettoriale è definito. A questo punto puoi, partendo dalla suddetta proprietà di dipendenza lineare della famiglia \(v_i \in V\) dimostrare, attraverso le due fondamentali proprietà dell'applicazione lineare \( L\), anche la dipendenza lineare della loro immagine \(L(v_i) \in W\).
Partendo dal tuo suggerimento ho proceduto così $F(\alpha_1*v_1+\alpha_2*v_2+...+\alpha_n*v_n)=F(0_v)$ $\Rightarrow F(\alpha_1*v_1)+F(\alpha_2*v_2)+...+F(\alpha_n*v_n)=0_w$ $\Rightarrow \alpha_1*F(v_1)+\alpha_2*F(v_2)+...+\alpha_n*F(v_n)=0_w$ dove $|alpha_1 ,..., \alpha_n$ sono tutti 0, però ho un dubbio, cosa mi assicura che una volta che i vettori siano passati attraverso l'applicazione lineare quelli siano ancora gli unici coefficienti che ne azzerano la combinazione lineare?
anzi se l'applicazione lineare fosse $F:V rarr W:v rarr 0_w$ non avverrebbe che ogni famiglia di vettori diventi linearmente dipendente?
spero di essermi spiegato bene
anzi se l'applicazione lineare fosse $F:V rarr W:v rarr 0_w$ non avverrebbe che ogni famiglia di vettori diventi linearmente dipendente?
spero di essermi spiegato bene
Ti chiedo scusa per aver risposto in fretta, avrei dovuto darti solo un consiglio per procedere con la dimostrazione senza accennare al fatto che la dimostrazione esiste.
Ovviamente hai perfettamente ragione, non è possibile dimostrare, in generale, che partendo da una famiglia di vettori linearmente indipendenti si giunga, attraverso l'applicazione lineare, ad un altra famiglia di vettori linearmente indipendenti; il fatto è anche abbastanza intuitivo, lo spazio di arrivo, di cui l'immagine è un sottospazio, potrebbe avere anche dimensione minore dello spazio di partenza, per cui sarebbe impossibile che in esso vivano più vettori indipendenti della sua dimensione.
L'unica direzione del teorema che può essere provata è quella contraria, cioè da \(L(V)\) a \(V\), però rileggendo la tua domanda mi sono reso conto che hai scritto una volta dipendenti e una volta indipendenti, e sospetto che la dimostrazione richiesta fosse:
"Comunque dati due spazi vettoriali Vk e Wk, una funzione lineare L:V ->W non iniettiva e una famiglia di vettori F=v1,v2,...,vr
in V linearmente dipendenti, la famiglia L(F)=L(v1),L(v2),...,L(vr) risulta linearmente dipendente."
Se il teorema era questo allora:
\(\exists \alpha_1, ..., \alpha_n\) non tutti identicamente nulli tali che \(\alpha_1v_1 + ... \alpha_nv_n = 0_V\). Utilizzando le proprietà dell'applicazione lineare \( L(0_V) = 0_W\) e \( L(\alpha_1v_1 + ... \alpha_nv_n) = \alpha_1L(v_1) + ... \alpha_nL(v_n) \) quindi esiste una ennupla non nulla tale che la combinazione lineare delle immagini sia nulla; dunque anche la famiglia di vettori ottenuta come immagine della famiglia di partenza sarà linearmente dipendente.
Ho provveduto a correggere anche la risposta precedente, grazie per avermelo fatto notare.
Se l'applicazione è iniettiva, per la definizione di iniettività (il kernel è costituito solo dal vettore nullo, o equivalentemente, il vettore nullo dell'immagine è necessariamente immagine del vettore nullo del dominio) invece vale anche la proprietà di indipendenza.
Ovviamente hai perfettamente ragione, non è possibile dimostrare, in generale, che partendo da una famiglia di vettori linearmente indipendenti si giunga, attraverso l'applicazione lineare, ad un altra famiglia di vettori linearmente indipendenti; il fatto è anche abbastanza intuitivo, lo spazio di arrivo, di cui l'immagine è un sottospazio, potrebbe avere anche dimensione minore dello spazio di partenza, per cui sarebbe impossibile che in esso vivano più vettori indipendenti della sua dimensione.
L'unica direzione del teorema che può essere provata è quella contraria, cioè da \(L(V)\) a \(V\), però rileggendo la tua domanda mi sono reso conto che hai scritto una volta dipendenti e una volta indipendenti, e sospetto che la dimostrazione richiesta fosse:
"Comunque dati due spazi vettoriali Vk e Wk, una funzione lineare L:V ->W non iniettiva e una famiglia di vettori F=v1,v2,...,vr
in V linearmente dipendenti, la famiglia L(F)=L(v1),L(v2),...,L(vr) risulta linearmente dipendente."
Se il teorema era questo allora:
\(\exists \alpha_1, ..., \alpha_n\) non tutti identicamente nulli tali che \(\alpha_1v_1 + ... \alpha_nv_n = 0_V\). Utilizzando le proprietà dell'applicazione lineare \( L(0_V) = 0_W\) e \( L(\alpha_1v_1 + ... \alpha_nv_n) = \alpha_1L(v_1) + ... \alpha_nL(v_n) \) quindi esiste una ennupla non nulla tale che la combinazione lineare delle immagini sia nulla; dunque anche la famiglia di vettori ottenuta come immagine della famiglia di partenza sarà linearmente dipendente.
Ho provveduto a correggere anche la risposta precedente, grazie per avermelo fatto notare.
Se l'applicazione è iniettiva, per la definizione di iniettività (il kernel è costituito solo dal vettore nullo, o equivalentemente, il vettore nullo dell'immagine è necessariamente immagine del vettore nullo del dominio) invece vale anche la proprietà di indipendenza.
Purtroppo la proposizione che ho scritto all'inizio è corretta, il teorema di cui parli è presente e dimostrato come da te nel mio libro, come anche il fatto che se l'applicazione è iniettiva le famiglie di vettori conservino pure l'indipendenza.
Mi spiace ma io continuo a non capire come fare
Mi spiace ma io continuo a non capire come fare
Detto così, l'enunciato è falso. Prendi $r=1$. La famiglia $v_1\ldots v_r$ si riduce a un vettore solo: $v_1$. Questo vettore è linearmente indipendente se e solo se esso non è nullo. Stando all'enunciato, la famiglia $L(v_1)$ è linearmente dipendente, quindi, $L(v_1)=0$.
Avremmo così dimostrato che $L(v)=0$ per ogni $v$, ovvero, che $L$ è l'applicazione nulla. Ma chiaramente esistono applicazioni lineari non iniettive e che tuttavia non si riducono all'applicazione nulla. Quindi l'enunciato da cui siamo partiti era falso, perché porta ad una contraddizione.
Avremmo così dimostrato che $L(v)=0$ per ogni $v$, ovvero, che $L$ è l'applicazione nulla. Ma chiaramente esistono applicazioni lineari non iniettive e che tuttavia non si riducono all'applicazione nulla. Quindi l'enunciato da cui siamo partiti era falso, perché porta ad una contraddizione.
"Fabbi":
Purtroppo la proposizione che ho scritto all'inizio è corretta, il teorema di cui parli è presente e dimostrato come da te nel mio libro, come anche il fatto che se l'applicazione è iniettiva le famiglie di vettori conservino pure l'indipendenza.
Mi spiace ma io continuo a non capire come fare
Ok, quindi la dimostrazione va fatta con l'ipotesi che l'applicazione lineare sia non iniettiva.
Se la famiglia è formata da tanti vettori quanto vale la dimensione dello spazio \(V\) allora suggerisco di utilizzare il teorema della dimensione: \(dim(Ker\varphi) + dim(Im\varphi) = dim(V)\). Se l'applicazione lineare non è iniettiva \(dim(Ker\varphi)>0\) quindi \(dim(Im\varphi) < dim(Ker\varphi)\), e di qui la tesi. E' corretta l'assunzione \(r =dim(V)\)? Spero di esserti stato d'aiuto!
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