Equazione Sottospazio Immagine Applicazione Lineare

[Dave951]

Sera ragazzi, ho un problema nei confronti del seguente esercizio:
Sia $f : R^4 → R^3 $ l’applicazione lineare così definita: $ f((x_1,x_2,x_3,x_4)) = (2x_1, x_1 −x_2, x_1 +x_2 +x_3) $.
1. Scrivere la matrice associata ad f rispetto alle basi canoniche di $R_4$ e di $R_3$ .
2. Determinare la dimensione e una base sia di $ker f $ sia di $im f$ .
3. Determinare le equazioni dei sottospazi vettoriali $f (W )$, con:
e $f^{−1}(W′)$ , con:
$W = {(x_1,x_2,x_3,x_4) ∈ R^4 | x_1 +x_2 +2x_3 = 0} $ e
$W ′ ={(y_1,y_2,y_3)∈R^3 |y_2+2y_3 =0}$.

Il problema sorge non per il punto 1 e 2 ma bensì nel punto 3. In tale punto so ricavare le equazioni di $f^{-1}(W')$ dove
$f^{−1}(W′)= {x_1 −x_2+2(x_1 +x_2 +x_3)=0} $ . Per $f(W)$ mi sono ricavato un base di $W$ che è generato dai vettori $(0,0,0,1) (-1,1,0,0)(-2,0,1,0)$ tale che $f(W)$ sia generato dai vettori $f(0,0,0,1)$, $f(-1,1,0,0)$ e $f(-2,0,1,0)$ (sostituisco i vettori che generano $W$ in $x_1,x_2,x_3$ ) trovando così la base di $f(W)$. La cosa che non mi viene al momento è come potersi ricavare l'equazione di $f(W)$, cosa mi consigliate?

grazie e buona serata

[billyballo2123]

Dato che $f(0 \ \ 0 \ \ 0 \ \ 1)=(0 \ \ 0 \ \ 0)$, $f(-1 \ \ 1 \ \ 0 \ \ 0)=(-2 \ \ -2 \ \ 0)$ e $f(-2 \ \ 0 \ \ 1 \ \ 0)=(-4 \ \ -2 \ \ -1)$, deduci che una base di $f(W)$ è $\{(2 \ \ 2 \ \ 0),(4 \ \ 2 \ \ 1)\}$, quindi le equazioni parametriche di $f(W)$ sono
\[
\begin{pmatrix}
y_1 \\
y_2 \\
y_3
\end{pmatrix}
=
s
\begin{pmatrix}
2 \\
2 \\
0
\end{pmatrix}
t
\begin{pmatrix}
4 \\
2 \\
1
\end{pmatrix}.
\]
Per trovare le equazioni cartesiane ti basta usare due equazioni per trovare $s$ e $t$ in funzione di $y_1$, $y_2$ e $y_3$, e sostituendo $s$ e $t$ nell'equazione rimasta trovi l'equazione cartesiana di $f(W)$.