Vettori ortogonali
Calcolare il prodotto scalare e il prodotto vettoriale dei vettori $u = (1; 2;-2)$ e $v = (-2; 0; 1)$ e verifcare
che il vettore $w = (2; 3; 4)$ risulta ortogonale sia a u che a v. Determinare i vettori di modulo 2 ortogonali
sia a u che a v.
-per il prodotto scalare moltiplico $u*v$ che da $-4$
-per il prodotto vettoriale penso alla nozione di determinante $u\wedgev=$
\begin{vmatrix}
i & j & k \\
1 & 2 & -2 \\
-2 & 0 & 1 \\
\end{vmatrix}
$=2i+3j+4k$
-per verificare che $w$ sia ortogonale a $u$ moltiplico scalarmente i due vettori e se il risultato è zero allora sono ortogonali, giusto?
lo stesso vale per $v$
Ora come faccio a determinare i vettori di modulo 2 ortogonali sia a u che a v
che il vettore $w = (2; 3; 4)$ risulta ortogonale sia a u che a v. Determinare i vettori di modulo 2 ortogonali
sia a u che a v.
-per il prodotto scalare moltiplico $u*v$ che da $-4$
-per il prodotto vettoriale penso alla nozione di determinante $u\wedgev=$
\begin{vmatrix}
i & j & k \\
1 & 2 & -2 \\
-2 & 0 & 1 \\
\end{vmatrix}
$=2i+3j+4k$
-per verificare che $w$ sia ortogonale a $u$ moltiplico scalarmente i due vettori e se il risultato è zero allora sono ortogonali, giusto?
lo stesso vale per $v$
Ora come faccio a determinare i vettori di modulo 2 ortogonali sia a u che a v
Risposte
Suggerimento: poiché in $\mathbb{R}^3$ il numero massimo di vettori ortogonali tra loro è tre, e dato che il vettore $vec(z)$ richiesto con modulo 2 è ortogonale ai vettori $vec(v)$ e $vec(u)$, proprio come $vec(w)$, allora puoi imporre due condizioni per determinare $vec(z)$...
per vettore
scusa, ma purtroppo non ci arrivo
per $ vec(z) $ con modulo 2 si intende che il modulo del prodotto vettoriale è uguale a 2?
quando chiede di trovare i vettori di modulo 2 ortogonali sia a $u$ che a $v$ significa trovare 2 vettori distinti? uno ortogonale a $u$ e l'altro a $v$? o un unico vettore ortogonale sia $u$ che a $v$?
"Shun":
Suggerimento: poiché in $ \mathbb{R}^3 $ il numero massimo di vettori ortogonali tra loro è tre, e dato che il vettore $ vec(z) $ richiesto con modulo 2 è ortogonale ai vettori $ vec(v) $ e $ vec(u) $, proprio come $ vec(w) $, allora puoi imporre due condizioni per determinare $ vec(z) $...
scusa, ma purtroppo non ci arrivo
per $ vec(z) $ con modulo 2 si intende che il modulo del prodotto vettoriale è uguale a 2?
quando chiede di trovare i vettori di modulo 2 ortogonali sia a $u$ che a $v$ significa trovare 2 vettori distinti? uno ortogonale a $u$ e l'altro a $v$? o un unico vettore ortogonale sia $u$ che a $v$?
Ti chiede di determinare tutti i vettori con norma 2 che sono contemporaneamente ortogonali a $vec(u)$ e $vec(v)$.
Facendo il prodotto vettoriale tra $vec(u)$ e $vec(v)$ trovi il vettore ortogonale contemporaneamente a $vec(u)$ e $vec(v)$, non ti resta che imporre che abbia norma 2.
Semplicemente ho notato che il vettore $vec(w)$ nel testo è il risultato del prodotto vettoriale e quindi il vettore che cerchi è parallelo ad esso e con norma 2:
(1) $vec(z)$ e $vec(w)$ paralleli
(2) $||vec(z)|| = 2$
Chiaramente devi ottenere due vettori con norma 2, il primo con lo stesso verso di $vec(w)$ e l'altro con verso opposto.
Facendo il prodotto vettoriale tra $vec(u)$ e $vec(v)$ trovi il vettore ortogonale contemporaneamente a $vec(u)$ e $vec(v)$, non ti resta che imporre che abbia norma 2.
Semplicemente ho notato che il vettore $vec(w)$ nel testo è il risultato del prodotto vettoriale e quindi il vettore che cerchi è parallelo ad esso e con norma 2:
(1) $vec(z)$ e $vec(w)$ paralleli
(2) $||vec(z)|| = 2$
Chiaramente devi ottenere due vettori con norma 2, il primo con lo stesso verso di $vec(w)$ e l'altro con verso opposto.
"Shun":
Ti chiede di determinare tutti i vettori con norma 2 che sono contemporaneamente ortogonali a $vec(u)$ e $vec(v)$.
Facendo il prodotto vettoriale tra $vec(u)$ e $vec(v)$ trovi il vettore ortogonale contemporaneamente a $vec(u)$ e $vec(v)$, non ti resta che imporre che abbia norma 2.
Semplicemente ho notato che il vettore $vec(w)$ nel testo è il risultato del prodotto vettoriale e quindi il vettore che cerchi è parallelo ad esso e con norma 2:
(1) $vec(z)$ e $vec(w)$ paralleli
(2) $||vec(z)|| = 2$
Chiaramente devi ottenere due vettori con norma 2, il primo con lo stesso verso di $vec(w)$ e l'altro con verso opposto.
il concetto di norma non l'ho ancora affrontato ma più o meno ho capito di cosa stiamo parlando.
Correggimi se sbaglio qualcosa.
Due vettori $z_1, z$ sono paralleli se esiste uno scalare $k in RR : z_1=kz$
nel nostro caso $w$=$z$
$z_1=k(2, 3, 4)$
$||z_1||=2$
$k=2/sqrt(29)$
$z_1=+-(2/sqrt(29))(2, 3, 4)$
corretto?
Esatto 
"Shun":
Esatto
per verificare che i vettori u,v,w sono complanari come procedo? quando due, tre vettori sono complanari?
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