[RISOLTO] Calcolo autovalori matrice ostica

[comariob]

Buonasera,

sto svolgendo esercizi di esame, ho problemi nel calcolare gli autovalori di matrici associate ad applicazioni lineari particolarmente ostiche.

In particolare, ho questo esempio da sottoporre.

Sia l'applicazione lineare $ f:R^3->R^3 $ che ha la matrice associata nel riferimento canonico $ A=( ( 0 , 1 , 1 ),( 1 , 0 , 1 ),( 1 , 1 , 0 ) ) $

determinare AUTOVALORI f con molteplicità algebrica e geometrica e diagonalizzare se possibile.

Ora, la matrice è simmetrica è quindi è sicuramente diagonalizzabile.

Per trovare gli autovalori devo individuare i valori che annullano il $ det(A-lambda I) $
La matrice è $ (A-lambda I)=( ( -lambda , 1 , 1 ),( 1 , -lambda , 1 ),( 1 , 1 , -lambda ) ) $

Ma se calcolo il determinante mi viene fuori un'equazione di terzo grado, che è $ -lambda^3+3lambda+2 $
Adesso non so come comportarmi, ho provato a fattorizzare il lambda $ -lambda(lambda^2-3)+2 $ e completare il quadrato tra parentesi, ma mi viene fuori questa roba qua $ -lambda(lambda-3/2)^2+2+9/4lambda $ e mi sa che non è corretto...

Che cosa posso fare?
Grazie!

[garnak.olegovitc1]

ad occhio si vede che il termine noto é una radice... per il resto hai applicato Ruffini?!

[comariob]

Ecco, no.

DIciamo che questi sono sistemi di base che uno dovrebbe conoscere ma di cui dimentichi totalmente l'esistenza dopo mesi e mesi di inutilizzo e per cui quando ti ritrovi davanti un'applicazione che li prevede, resti spaesato e non sai dove sbattere la testa.

Applicando Ruffini effettivamente mi ritrovo con $ (lambda+1)(-lambda^2+lambda+2) $ e dunque le radici del polinonmio caratteristico sono -1 con doppia molteplicità algebrica e 2.

Grazie mille per l'aiuto!

[Magma1]

Calcolando il determinante con lo sviluppo di Laplace sulla prima riga:

$-lambda| ( -lambda , 1 ),( 1 , -lambda ) | -| ( 1 , 1 ),( 1 , -lambda ) | +| ( 1 , -lambda ),( 1 , 1 ) | $

$-lambda* (lambda^2-1)-(-lambda-1)+(1+lambda)$

$-lambda*(lambda-1)*(lambda+1)+2(lambda+1)$

$(lambda+1)*[-lambda(lambda-1)+2]$

$(lambda +1)*(-lambda^2+lambda+2)$

$(lambda+1)*(lambda^2-lambda-2)$

$(lambda+1)*(lambda+1)*(lambda-2)$

$(lambda+1)^2 * (lambda-2)$

[phaerrax]

Propongo un procedimento alternativo, utile quando ci si trova con matrici di questo tipo.

Sai che:

[*:1ru89k22] la matrice è certamente diagonalizzabile poiché è simmetrica;[/*:m:1ru89k22]
[*:1ru89k22] la somma degli autovalori è pari alla traccia della matrice;[/*:m:1ru89k22]
[*:1ru89k22] \(\lambda\) è un autovalore se \(\det(A-\lambda I)=0\) vale a dire il rango di \(A-\lambda I\) non è massimo (cioè 3).[/*:m:1ru89k22][/list:u:1ru89k22]
Si nota subito che se \(\lambda=-1\) ottieni
\[
A-(-1)I=
\begin{pmatrix}
1&1&1\\ 1&1&1\\ 1&1&1
\end{pmatrix}
\]
che evidentemente ha rango 1, dunque -1 è un autovalore. Il nucleo di \(A+I\) ha dimensione 2, e se non vuoi calcolare gli autovettori ci possiamo fermare qui.
Rimane un autovalore da trovare, ma poiché
\[
0=\operatorname{tr}A=\sum_{i=1}^3\lambda_i
\]
dove i \(\lambda_i\) sono gli autovalori (\(\lambda_1=\lambda_2=-1\)), hai che \(\lambda_3=-2\lambda_1=2\).