Vettori linearmente indipendenti

[Pigreco93]

I vettori u = i - j, v = j + k, w = k sono linearmente indipendenti?

Come devo ragionare per risolverlo??

Grazie

[kobeilprofeta]

definizione: faccio una loro comb lin che dà il vett nullo e vede se i coefficienti debbono essere tutti nulli

$\alpha*u+\beta*v+\gamma*w=\alpha*(i-j)+\beta*(j+k)+\gamma*k=0$
e ora ti fai un paio di conti

[Pigreco93]

"kobeilprofeta":definizione: faccio una loro comb lin che dà il vett nullo e vede se i coefficienti debbono essere tutti nulli

$\alpha*u+\beta*v+\gamma*w=\alpha*(i-j)+\beta*(j+k)+\gamma*k=0$
e ora ti fai un paio di conti

$alpha, beta, gamma$ sono coefficienti reali? $i, j, k$ devo prenderli come versori?

[kobeilprofeta]

$\alpha,\beta,\gamma in RR$

i,j,k sono vettori. credo che nel tuo esercixio tu sia in uno spazio 3-dim dove (i,j,k) è una base ortonormale... ma è una mia supposizione

[Pigreco93]

e come risolvo? scusa ma non ci sto riuscendo, o meglio non ho capito il procedimento

[kobeilprofeta]

se, come suppongo, i,j,k sono una b.o., allora in particolare sono lin ind.

nell'espressione che ti ho scritto nel mio primo messaggio, riscrivila come "qualcosa per i + qualcosa per j + qualcosa per k uguale a zero(vettor nullo)"

ora i,j,k sono lin ind, quindi quei tre qualcosa debbono essere uguali a zero: hai tre condizioni che ti permettono di trovare alfa, beta e gamma

[Pigreco93]

$\alpha*u+\beta*v+\gamma*w=\alpha*(i-j)+\beta*(j+k)+\gamma*k=0$

$\alpha*u+\beta*v+\gamma*w=\alphai-alphaj+betaj+betak+gammak=0$

$\alpha*u+\beta*v+\gamma*w=\alphai+j(-alpha+beta)+k(beta+gamma)=0$
è giusto il procedimento? ora non so come andare avanti

[kobeilprofeta]

ora hai una comb lin tra i,j,k che ti dà il vettor nullo:
${(\alpha=0),(-\alpha+\beta=0),(\beta+\gamma=0):}$

[Pigreco93]

"kobeilprofeta":ora hai una comb lin tra i,j,k che ti dà il vettor nullo:
${(\alpha=0),(-\alpha+\beta=0),(\beta+\gamma=0):}$

risolvendo il sistema ottengoo ${(\alpha=0),(beta=0),(\gamma=0):}$

quindi i vettori $u, v, w$ sono linearmente indipendenti

[kobeilprofeta]

scusa ma le regole vogliono che tu apra un nuovo argomento per questo nuovo problema... chiamalo tipo "prodotto tra vettori" o come vuoi tu