Matrice diagonalizzabile
stabilire per quali valori di $h in R$
$A=((1,0,h),(0,2,0),(h,1,1))$
come si stabilisce?
ho fatto il polinomio caratteristico e viene $(lambda-2)((1-lambda)^2-h^2)=0$
però non saprei come estrarre il valore di h che rende le radici tutte reali, per fare si che A sia diagonalizzabile,
grazie
PS: ho notato che $det(A)!=0$ se $h!=+-1$
e $h!=+-1$ è anche la risposta guista cioè il valore di h che rende A diagonalizzabile, però il determinante di A da solo non mi sembra un criterio di diagonalizzazione, per cui, correggetemi se sbaglio, è solo un caso.
grazie ancora
$A=((1,0,h),(0,2,0),(h,1,1))$
come si stabilisce?
ho fatto il polinomio caratteristico e viene $(lambda-2)((1-lambda)^2-h^2)=0$
però non saprei come estrarre il valore di h che rende le radici tutte reali, per fare si che A sia diagonalizzabile,
grazie
PS: ho notato che $det(A)!=0$ se $h!=+-1$
e $h!=+-1$ è anche la risposta guista cioè il valore di h che rende A diagonalizzabile, però il determinante di A da solo non mi sembra un criterio di diagonalizzazione, per cui, correggetemi se sbaglio, è solo un caso.
grazie ancora
Risposte
ciao,
gli autovalori sono: $ lambda_1=2 $ , $ lambda_2=1-H $ , $ lambda_3=H+1 $ .
Tale matrice è sicuramente diagonalizzabile se ha 3 autovalori distinti. Questa situazione si ha per $ H!=0,H!=+-1 $ .
Dobbiamo verificare i tre casi, ricordando che una matrice è pure diagonalizzabile se la somma delle dimensioni degli autospazi (leggasi molteplicità geometrica) è pari a $n$, dimensione della matrice.
Questo fatto è equivalente a dire che la molteplicità geometrica e algebrica sono uguali per ogni autovalore !
1. Per $H=0$ risulta che: per ogni autovalore le molteplicità coincidoono: la matrice è diagonalizzabile.
2. Faccio solo il caso $H=1$, quello con $H=-1$ è analogo.
La matrice diventa: $ [ ( 1 , 0 , 1 ),(0 ,2 , 0),( 1 , 1 , 1 ) ] $
gli autovalori sappiamo essere $lambda_1=0$, con $m.a= 1$ e $lambda_2 = 2$ con $m.a = 2$.
Dobbiamo verificare che $dim(ker(A-lambdaI)) = m.a$ per ogni autovalore
$lambda_1=0$, risolvendo $A-lambda_1(I)=0$ si ottiene il sistema lineare: $ { ( x +z=0 ),( 2y=0 ),( x+y+z=0 ):} $ , da cui trovi facilmente che un autovettore è dato da $((-1),(0),(1))$ con $m.g=1$.
$lambda_2=2$. Si ottiene il sistema lineare: $ { ( x=z ),( x+y-z=0 ):} $ , da cui trovi che un autovettore è $((1),(0),(1))$ e la sua molteplicità geometrica è pari a $1$.
Poiché non è pari alla molteplicità algebrica, allora concludiamo che per $H=1$ non è diagonalizzabile.
3. Verifica che per $H=-1$ non si ha $m.g=m.a$ per ogni $lambda_i$ e l'esercizio è totalmente risolto
gli autovalori sono: $ lambda_1=2 $ , $ lambda_2=1-H $ , $ lambda_3=H+1 $ .
Tale matrice è sicuramente diagonalizzabile se ha 3 autovalori distinti. Questa situazione si ha per $ H!=0,H!=+-1 $ .
Dobbiamo verificare i tre casi, ricordando che una matrice è pure diagonalizzabile se la somma delle dimensioni degli autospazi (leggasi molteplicità geometrica) è pari a $n$, dimensione della matrice.
Questo fatto è equivalente a dire che la molteplicità geometrica e algebrica sono uguali per ogni autovalore !
1. Per $H=0$ risulta che: per ogni autovalore le molteplicità coincidoono: la matrice è diagonalizzabile.
2. Faccio solo il caso $H=1$, quello con $H=-1$ è analogo.
La matrice diventa: $ [ ( 1 , 0 , 1 ),(0 ,2 , 0),( 1 , 1 , 1 ) ] $
gli autovalori sappiamo essere $lambda_1=0$, con $m.a= 1$ e $lambda_2 = 2$ con $m.a = 2$.
Dobbiamo verificare che $dim(ker(A-lambdaI)) = m.a$ per ogni autovalore
$lambda_1=0$, risolvendo $A-lambda_1(I)=0$ si ottiene il sistema lineare: $ { ( x +z=0 ),( 2y=0 ),( x+y+z=0 ):} $ , da cui trovi facilmente che un autovettore è dato da $((-1),(0),(1))$ con $m.g=1$.
$lambda_2=2$. Si ottiene il sistema lineare: $ { ( x=z ),( x+y-z=0 ):} $ , da cui trovi che un autovettore è $((1),(0),(1))$ e la sua molteplicità geometrica è pari a $1$.
Poiché non è pari alla molteplicità algebrica, allora concludiamo che per $H=1$ non è diagonalizzabile.
3. Verifica che per $H=-1$ non si ha $m.g=m.a$ per ogni $lambda_i$ e l'esercizio è totalmente risolto
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