Esercizio di geometria
Buongiorno! Mi sono proprio incastrato su un esercizio da esame 
Si determinino equazioni delle rette che incidono l'asse delle z ed hanno uguale distanza positiva dai due piani
$rho: x+y-3z = 2$
$sigma: x+3y+z = 0$
Sicuramente, in forma parametrica, il punto iniziale sarà del tipo $(0,0,a)$ per quanto riguarda l'incidenza con l'asse z; poi però vado troppo in confusione, non mi è mai capitato nessun esercizio simile... Help please
Si determinino equazioni delle rette che incidono l'asse delle z ed hanno uguale distanza positiva dai due piani
$rho: x+y-3z = 2$
$sigma: x+3y+z = 0$
Sicuramente, in forma parametrica, il punto iniziale sarà del tipo $(0,0,a)$ per quanto riguarda l'incidenza con l'asse z; poi però vado troppo in confusione, non mi è mai capitato nessun esercizio simile... Help please
Risposte
Indicato con $(0,0,a)$ il punto di intersezione con l'asse $z$ (che risulterà il centro di un fascio di rette), le rette cercate hanno equazioni parametriche
$$x=\alpha t,\quad y=\beta t,\quad z=a+\gamma t$$
dove $v=(\alpha\ \beta\ \gamma)$ è il vettore direzione della retta. Ora, quello che devi imporre che la distanza di tale retta dai due piani sia uguale. Tuttavia, nota che se le rette incidessero i piani, le loro distanze sarebbero pari a zero, pertanto tali rette devono essere parallele ai piani. Ne segue che il vettore direzione precedentemente scritto e la giacitura del piano devono risultare ortogonali. Quindi:
$$v\bullet(1\ 1\ -3)=0\qquad v\bullet(1\ 3\ 1)=0$$
(ho usato la condizione di prodotto scalare uguale a zero per l'ortogonalità). Ne segue che
$$\alpha+\beta-3\gamma=0\qquad \alpha+3\beta+\gamma=0$$
che ha come soluzione $(-5\gamma\ -2\gamma\ \gamma)$ e quindi il vettore direzione della retta risulta $(5\ 2\ -1)$ e quindi la retta è
$$x=5t\qquad y=2t\qquad a-t$$
Adesso imponi che le distanze siano uguali e determina $a$ (probabilmente troverai due valori di $a$, segno che ci sono due rette diverse a pari distanza dai piani).
$$x=\alpha t,\quad y=\beta t,\quad z=a+\gamma t$$
dove $v=(\alpha\ \beta\ \gamma)$ è il vettore direzione della retta. Ora, quello che devi imporre che la distanza di tale retta dai due piani sia uguale. Tuttavia, nota che se le rette incidessero i piani, le loro distanze sarebbero pari a zero, pertanto tali rette devono essere parallele ai piani. Ne segue che il vettore direzione precedentemente scritto e la giacitura del piano devono risultare ortogonali. Quindi:
$$v\bullet(1\ 1\ -3)=0\qquad v\bullet(1\ 3\ 1)=0$$
(ho usato la condizione di prodotto scalare uguale a zero per l'ortogonalità). Ne segue che
$$\alpha+\beta-3\gamma=0\qquad \alpha+3\beta+\gamma=0$$
che ha come soluzione $(-5\gamma\ -2\gamma\ \gamma)$ e quindi il vettore direzione della retta risulta $(5\ 2\ -1)$ e quindi la retta è
$$x=5t\qquad y=2t\qquad a-t$$
Adesso imponi che le distanze siano uguali e determina $a$ (probabilmente troverai due valori di $a$, segno che ci sono due rette diverse a pari distanza dai piani).
Scusa se rispondo solo ora, ma sono stato in montagna. Ti ringrazio tantissimo! 
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