Completamento a base

[time4life]

Salve

Scrivo per chiedervi aiuto in merito all'argomento del titolo, in particolare mi ritrovo a dover svolgere due esercizi , il primo che mi lascia qualche dubbio e il secondo che proprio non so affrontare

Il primo è il seguente:

Ho uno spazio vettoriale definito come :$ V={A \in M_(2,2) : a_(1,1) + 3a_(2,2) =0}$

Ho due matrici, A $((3,-1),(0,-1))$ e B $((1,1),(1,2))$

Devo completare A e B ad una base di V...(essendo come procedimento simili riporto solo A) io ho pensato di scrivere le matrici come un vettore nx1 dunque
A=$((3),(-1),(0),(-1))$ e B=$((1),(1),(1),(2))$

Dai calcoli vien fuori che una base di V è composta dai vettori: $((-3),(0),(0),(1))$ $((0),(1),(0),(0))$ $((0),(0),(1),(0))$

A questo punto se completo A alla base di V ottengo: $((3),(-1),(0),(-1))$ $((-3),(0),(0),(1))$ $((0),(0),(1),(0))$

Non ho i risultati quindi non so se sto facendo nel modo giusto o se sto sbagliando in modo macroscopico..

L'altro esercizio non riesco a comprenderlo, eppure dovrebbe essere semplice

Mi chiede: è possibile completare $t,t^2+1$ ad una base$ R_2[t]$? qual'è una base R_2 di t? $((1),(0))$ $((0),(1))$ ? non so proprio come procedere , qualche suggerimento

Grazie anticipate!

[tommy1996q]

Per quanto riguarda il primo esercizio stai procedendo nel modo giusto, utilizzando l'algoritmo di completamento a base applicato ai vettori di $R^4$, spazio vettoriale isomorfo a $M(2,2)$. Per fare una cosa precisa dovresti, alla fine, riportare tutto nello spazio vettoriale di partenza, e riscrivere lì i vettori di base, ma qui l'isomorfismo è talmente semplice che puoi anche lasciare così com'è.

Alla seconda domanda dovresti rispondere subito SI, perchè se uno spazio vettoriale è finitamente generato, allora posso sempre applicare l'algoritmo di estrazione di una base a qualunque vettore. Prima di darti la soluzione ti voglio dare un suggerimento: puoi fare per $R_2[t]$ la stessa cosa che hai fatto prima, lavorare con le matrici e le coordinate rispetto a una base è molto molto più semplice, e dovresti sempre (o quasi) cercare di lavorare con le matrici. Per ora ti dico solo: pensa bene allo spazio vettoriale che hai, i vettori in questo caso sono polinomi del tipo $ax^2+bx+c$ con $a,b,c\inR$, e ti dovrebbe saltare subito all' occhio una possibile base...

P.S. Nel completamento di A credo dovrebbe esserci un -3 in cima

[time4life]

"tommy1996q":Per quanto riguarda il primo esercizio stai procedendo nel modo giusto, utilizzando l'algoritmo di completamento a base applicato ai vettori di $R^4$, spazio vettoriale isomorfo a $M(2,2)$. Per fare una cosa precisa dovresti, alla fine, riportare tutto nello spazio vettoriale di partenza, e riscrivere lì i vettori di base, ma qui l'isomorfismo è talmente semplice che puoi anche lasciare così com'è.

Ottimo grazie

"tommy1996q":
Alla seconda domanda dovresti rispondere subito SI, perchè se uno spazio vettoriale è finitamente generato, allora posso sempre applicare l'algoritmo di estrazione di una base a qualunque vettore. Prima di darti la soluzione ti voglio dare un suggerimento: puoi fare per $R_2[t]$ la stessa cosa che hai fatto prima, lavorare con le matrici e le coordinate rispetto a una base è molto molto più semplice, e dovresti sempre (o quasi) cercare di lavorare con le matrici. Per ora ti dico solo: pensa bene allo spazio vettoriale che hai, i vettori in questo caso sono polinomi del tipo $ax^2+bx+c$ con $a,b,c\inR$, e ti dovrebbe saltare subito all' occhio una possibile base...

penso di avere qualche lacuna di teoria; perché seguendo il tuo suggerimento io vado subito a pensare ad un vettore tipo questo:

$((t^2),(t),(n))$ da cui ricavo una base formata da due vettori: $((0),(1),(0))$ $((1),(0),(1))$

Ma qui non mi ritrovo in $R_3$?

"tommy1996q":
P.S. Nel completamento di A credo dovrebbe esserci un -3 in cima

Hai ragione correggo subito

[tommy1996q]

Non ho capito cosa intendi quando mi dici che vai a pensare a un vettore tipo $(t^2,t,n)$, cosa mi rappresenta questo vettore? Le coordinate di un polinomio? In quale base? Quando dici che ti ricavi una base formata da due vettori, intendi una base di quale spazio vettoriale? Sicuramente non sarà una base di tutto $R_2[t]$ perchè ha dimensione 3 e tu hai solo 2 vettori.

Facciamo così: tu hai un polinomio tipo $at^2+b^t+c$, prova a scriverlo in coordinate prendendo una base di $R_2[t]$.

Poi rileggendo il primo messaggio leggo che vorresti sapere "qual'è una base R_2 di t", che cosa intendi?

[time4life]

"tommy1996q":Non ho capito cosa intendi quando mi dici che vai a pensare a un vettore tipo $(t^2,t,n)$, cosa mi rappresenta questo vettore? Le coordinate di un polinomio? In quale base? Quando dici che ti ricavi una base formata da due vettori, intendi una base di quale spazio vettoriale? Sicuramente non sarà una base di tutto $R_2[t]$ perchè ha dimensione 3 e tu hai solo 2 vettori.

Facciamo così: tu hai un polinomio tipo $at^2+b^t+c$, prova a scriverlo in coordinate prendendo una base di $R_2[t]$.

Poi rileggendo il primo messaggio leggo che vorresti sapere "qual'è una base R_2 di t", che cosa intendi?

Perdonami sto facendo un po di confusione;

così va bene?

a$((t^2),(0),(0))$+ b $((0),(t),(0))$+ c $((0),(0),(1))$

Dunque poi devo completare $((t),(t^2+1),(0))$ con quella base? se così fosse dai calcoli mi vien fuori una nuova base costituita dai vettori $((t),(t^2+1),(0))$ $((t^2),(0),(0))$ $((0),(0),(1))$

[tommy1996q]

Si stai facendo un po di confusione in effetti... Tu metti $t^2$ in un vettore di $R^3$, ma ciò è sbagliato! In $R^3$ tu scrivi le coordinate corrispondenti a un vettore nella base che hai scelto. Ma la base deve far parte del tuo spazio vettoriale di partenza. Per esempio nel tuo caso una base possibile è $\{t^2,t,1\}$ Allora l'isomorfismo dato dal passaggio in coordinate mi trasforma $at^2+bt+c$ in $ ((a),(b),(c))$. Allora se vuoi completare a base i vettori $t$ e $t^2 +1$ cosa devi fare? Basta semplicemente passare in coordinate. I vettori corrispondenti saranno $((0),(1),(0))$ e $((1),(0),(1))$. A questo punto completi questi due a base di $R^3$. Per farlo puoi per esempio prendere un vettore che ti sembra possa andare bene (in questo caso è facile vedere dei vettori che fanno al caso tuo, ma anche in casi più complicati personalmente cerco di vederlo "a occhio") e mettere tutti e 3 in una matrice 3x3. Poi verifichi la lineare indipendenza con l'algoritmo di Gauss o calcolando il determinante. Nel tuo caso, per esempio, si vede che $((0),(0),(1))$ fa al caso nostro e completa a base i precedenti due vettori. ma come sai (o comunque dovresti sapere visto che è la giustificazione teorica di ciò che facciamo) gli isomorfismi trasformano basi in basi, perciò considerando l'inverso del passaggio in coordinate (che è comunque un isomorfismo) trovo che l' immagine di $((0),(0),(1))$ in $R_2[t]$ insieme a $t$ e $t^2+1$ (immagini degli altri 2 vettori) forma una base di $R_2[t]$. Ma tale immagine è $1$, e allora il completamento cercato (uno degli infiniti possibili) è $\{t^2+1,t,1\}$.

Scusa se sono stato prolisso, ma ho voluto sottolineare ogni passaggio. Vedrai comunque che completamenti così semplici li farai a occhio.

[time4life]

Mi chiedi anche scusa?? ma scherzi mi sei stato di enorme aiuto, avevo una confusione enorme a riguardo e ho ancora delle domande (dovute a lacune teoriche che dovrò riempire)

ad esempio la stessa domanda posta con $t^2,t,3$ ?

scelgo la stessa base di prima e passo in coordinate, ottenendo $((1),(0),(0))$ $((0),(1),(0))$ $((0),(0),(3))$

Ho 3 vettori linearmente indipendenti e dato che la dimensione di $R_2[t]$ è pari a 3 non posso applicare l'algoritmo di completamento è giusto?

Scrivo domande con il rischio di dire fesserie ma dato che faccio davvero fatica ad andare d'accordo con questa materia mi sembra il modo migliore per imparare anche a costo di far figuracce

[feddy]

"Luigi94":
Ho 3 vettori linearmente indipendenti e dato che la dimensione di $R_2[t]$ è pari a 3 non posso applicare l'algoritmo di completamento è giusto?

Esatto, quei tre vettori formano già una base.
Se hai $n$ vettori linearmente indipendenti in uno spazio vettoriale di dimensione $n$, essi formano una base.

[time4life]

Evviva!

Grazie infinite siete stati di grandissimo aiuto!!