Topologia indotta

[plinko1]

Buongiorno, sto studiando geometria, più in particolare la parte di topologia, e leggendo gli appunti mi è sorto un dubbio su un esempio che che c'ha fatto il professore sul fatto che non è detto che un aperto nella topologia indotta, sia aperto anche nella topologia "originale". Ma la definizione che c'ha dato lui è questa: Ts(top. indotta)={AintersecatoS t.c. A appartiene a T(topologia "originale"}. Ora, visto che A è un'aperto in T, e che sta nella definizione che deve essere aperto in T per poi essere in Ts, com'è possibile che esistano elementi di Ts che non stanno in T?
grazie per le risposte in anticipo!
PS: Scusate per il disordine ma non sono in grado di usare le funzioni per mettere i simboli!

[vict85]

Il problema è che \(S\) potrebbe non essere un aperto. Se \(S\) è aperto allora un aperto nella topologia indotta è anche aperto in quella originale, in caso contrario non è detto. Per esempio, con la topologia standard sulla retta reale, \((1, 2]\) è aperto nella topologia indotta su \([0, 2]\) ma non lo è come insieme della retta reale.

[kobeilprofeta]

Per specificare $(1,2]$ risulta aperto nell'indotta perchè $(1,2]=(1,3)\cap[0,2])$ e $(1,3)$ è aperto in $RR$.

[kobeilprofeta]

PS: La $A$ sarebbe l'intersezione che non so fare

@vict come si fa?

[j18eos]

@kobeilprofeta Si usa il codice

\(\displaystyle\cap\)

(tasto MathJax per inserire le parentesi matematiche! )

[kobeilprofeta]

thanks