Endomorfismo $f$ di $RR^3$
Sia dato l'endomorfismo $f$ di $RR^3$ definito dalle condizioni:
\[ f(1; 0; 1) = (1; 1; 1); \;\;f(1; 1; 0) = (0; 0; 1); \;\;f(0; 1; 0) = (3; 3; 1) \]
Trovare una base di Kerf e dire per quali valori del parametro reale a si ha $f^(-1) (a; 1; 2)$ non vuoto
Come procedo?
\[ f(1; 0; 1) = (1; 1; 1); \;\;f(1; 1; 0) = (0; 0; 1); \;\;f(0; 1; 0) = (3; 3; 1) \]
Trovare una base di Kerf e dire per quali valori del parametro reale a si ha $f^(-1) (a; 1; 2)$ non vuoto
Come procedo?
Risposte
Comincerei con lo scrivere la matrice $A$ che rappresenta l'endomorfismo nella base canonica. Sai come si fa?
Neanche un tentativo? Ti do qualche dritta: per trovare il kernel devi trovare le soluzione di un sistema lineare omogeneo la cui matrice dei coefficienti è la matrice dell'applicazione lineare.
Quelle condizioni determinano in modo univoco l'applicazione essendo${(1,0,1),(0,1,0),(1,1,0)}$ una base per $R^3$ inoltre risulta semplice trovare le immagini dei vettori della base canonica $E_3$ e quindi potrai scrivere in maniera immediata la matrice di $f$ rispetto ad $E_3$; a questo punto puoi trovare $Ker(f)$ e quindi una sua base.
Per trovare invece per quali valori di $a in RR$ risulta $(f^-1)(a,1,2)$ non vuoto devi semplicemente applicare il teorema di rouchè-Capelli sul sistema lineare non omogeneo che ha come matrice dei coefficienti la matrice di $f$ e come vettore dei termini noti $(a,1,2)$;
Comunque questo esercizio è basico, rivedi un po' la teoria.
Quelle condizioni determinano in modo univoco l'applicazione essendo${(1,0,1),(0,1,0),(1,1,0)}$ una base per $R^3$ inoltre risulta semplice trovare le immagini dei vettori della base canonica $E_3$ e quindi potrai scrivere in maniera immediata la matrice di $f$ rispetto ad $E_3$; a questo punto puoi trovare $Ker(f)$ e quindi una sua base.
Per trovare invece per quali valori di $a in RR$ risulta $(f^-1)(a,1,2)$ non vuoto devi semplicemente applicare il teorema di rouchè-Capelli sul sistema lineare non omogeneo che ha come matrice dei coefficienti la matrice di $f$ e come vettore dei termini noti $(a,1,2)$;
Comunque questo esercizio è basico, rivedi un po' la teoria.
"Seneca":
Comincerei con lo scrivere la matrice $A$ che rappresenta l'endomorfismo nella base canonica. Sai come si fa?
No. ho cercato un pò di esempi sul web di come si trova la matrice associata ad un applicazione lineare ma ho ancora le idee confuse! il procedimento è diverso quando si tratta di un endomorfismo?
Anzitutto occorre scriversi $f(1,0,0)$, $f(0,1,0)$, $f(0,0,1)$ (sfrutta la linearità). La matrice $A$ che ha questi tre vettori come colonne è quella che rappresenta l'applicazione lineare nella base canonica. Quindi il nucleo di $f$ è formato dalle soluzioni del sistema $A x = 0$.
"Seneca":
Anzitutto occorre scriversi $f(1,0,0)$, $f(0,1,0)$, $f(0,0,1)$ (sfrutta la linearità). La matrice $A$ che ha questi tre vettori come colonne è quella che rappresenta l'applicazione lineare nella base canonica. Quindi il nucleo di $f$ è formato dalle soluzioni del sistema $A x = 0$.
non ho ancora capito. per trovare la matrice associata ad $f$ non dovrei trovare innanzitutto le immagini $f(v_1)$ $f(v_2)$ $f(v_3)$ della base $B$?
$(v_1)$ $(v_2)$ $(v_3)$ non sarebbero rispettivamente $f(1; 0; 1) \;f(1; 1; 0) \;f(0; 1; 0)$
Non riesco a capire la tua obiezione. Dovresti scrivere un po' più chiaramente cosa intendi.
"Seneca":
Non riesco a capire la tua obiezione.
sto cercando di spiegare i passaggi che intendo fare per trovare la matrice associata. perchè non riesco a capire questo procedimento
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