Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Salve,
ho dei dubbi sugli angoli di Eulero, in particolare sulle discontinuità trattate nella Fig.1 (http://tinypic.com/view.php?pic=i26g6e&s=9#.V6uxZaJBrkU). Per quanto è scritto le discontinuità causa la presenza di due angoli di Eulero per ciascuna orientazione.
Ciò è dimostrato tramite il seguente esempio:
The presence of two solutions is easily demonstrated with the starting position of the device laid flat on
the table and then applying these two rotation sequences:
-rotation of 180° in pitch
-rotation of 180° in yaw followed ...
Buona sera.
Stavo leggendo la dimostrazione dell'esistenza dei sollevamenti di cammini e omotopie sul libro di Kosniowski/Manetti e mi è venuto un dubbio su una possibile generalizzazione. Ricapitolo un'attimo la situazione:
sia \(X\) uno spazio topologico e sia \(p: E \to X\) un rivestimento, \(f: Y \to X\) una funzione continua dove \(Y\) è uno spazio metrico compatto e \(e \in E\), \(y \in Y\) con \(p(e) = f(y)\), si vuole dimostrare che esiste una funzione continua \(\tilde{f}: Y \to E\) ...
In quanto segue per "varietà" si intende "schema integrale, separato e di tipo finito su un campo algebricamente chiuso $k$ di caratteristica qualsiasi".
Una varietà $X$ è razionale se esiste un morfismo birazionale \(\mathbb P ^n \dashrightarrow X\) per qualche $n$.
Una varietà $X$ è unirazionale se esiste un morfismo razionale dominante \(\mathbb P ^n \dashrightarrow X\) per qualche $n$.
Un bundle conico è un morfismo tra ...
Salve
Ho da poco studiato il teorema spettrale, datomi con il seguente enunciato:
$(V, \phi)$ spazio euclideo. $f \in End(V)$ ortogonalmente diagonalizzabile $\iff f = f^\star$(cioè f è autoaggiunto, oppure simmetrico, come preferite).
Per ortogonalmente diagonalizzabile s'intende che esiste una base spettrale per $f$, cioè una base $\phi-$ortonormale e di autovettori per $f$.
Primo dubbio: come trovo una base spettrale? Supponiamo di avere ...
Ciao a tutti,
avrei bisogno di un suggerimento su come proseguire nel seguente esercizio
Dato l'endomorfismo $mathbb(R)^(2,2) -> mathbb(R)^(2,2)$
$f( ( ( x_1 , x_2 ),( x_3 , x_4 ) ) ) = ( ( 0 , x_1 + x_2),( x_1+x_2+x_3 , x_3+2x_4 ) ) $
trovare una matrice $A$ associata ad $f$ che sia diagonale superiore indicando rispetto a quale base $mathbb(R)^(2,2)$
io (da quello che ho capito) ho visto che devo prendere una base e applicare l'endomorfismo su di essa.
Quindi ho preso quattro matrici linearmente indipendenti
$( ( ( 1 , -1 ),( 0 , 0 ) ) ; ( ( 0 , 0 ),( 1 , -1 ) ) ; ( ( 0 , 0 ),(0 , 1 ) ) ; ( ( 1 , 0 ),( 0 , 0 ) ) )$
dove, applicando ...
Ciao a tutti, stavo cercando di diagonalizzare la seguente forma quadratica: $q(x,y) = 3x^2-8xy-3y^2$. Per farlo ho trovato i relativi autovalori che sono +5 e -5. Ho scoperto che i relativi autospazi sono della forma (-t, -2t) e (-2t, t). Quindi una base diagonalizzante è formata dai vettori (-1,-2) e (-2,1), giusto? Non sono del tutto convinto di aver svolto correttamente l'esercizio (il procedimento è corretto?) infatti l'esercizio mi chiede di diagonalizzare la forma quadratica determinando il ...
Ciao, vorrei il vostro parere sulla risoluzione di questo esercizio: Scrivere l'equazione cartesiana del piano passante per i punti A(1,2,3) B(-1,2,4) C(2,-3,4).... io l'ho risolto così, vorrei avere un vostro parere
applico: $ | ( x-xa , y-ya , z-za ),( xb-xa , yb-ya , zb-za ),( xc-xa , yc-ya , zc-za ) | = 0 $
da cui: $ | ( x-1 , y-2 , z-3 ),( -2 , 0 , 1 ),( 1 , -5 , 1 ) | = 0 $
passo poi a risolvere:
$ (x-1)| ( 0 , 1 ),( -5 , 1 )| = (x-1)*5 = 5x-5 $ ;
$ (y-2)| ( -2 , 1 ),( 1 , 1 )| = (y-2)*(-3) = -3y+6 $ ;
$ (z-3)| ( -2 , o ),( 1 , -5 )| = (z-3)*10 = 10z-30 $ ;
da cui $ 5x+3y+10z-5+6-30=0 $
e l'equazione mi risulta pari a $ 5x+3y+10z-29=0 $
Salve! Data la matrice $ | ( h , 1 , 0 ),( 1 , h , h ),( 0 , 1 , 2 ) | $
stavo cercando di ottenerne l'inversa tramite il metodo dei cofattori; il problema è che me ne vengono quattro di sbagliati, pur essendo convintissimo di stare facendo giusto:
$cof(0)_(1,3) = det | (1, h),(0, 1) | = 1$ , che nella soluzione è $h$
$cof(h)_(2,3) = -det | (h, 1),(0, 1) | = -h$ , che nella soluzione è $-h^2$
$cof(0)_(3,1) = det | (1, 0),(h, h) | = h$ , che nella soluzione è $1$
$cof(1)_(3,2) = -det | (h, 0),(1, h) | = -h^2$ , che nella soluzione è $-h$
Non so più dove sbattere la testa
Ciao a tutti,
Sto avendo problemi con l' impostazione di una parte di un esercizio e sarei molto grata di una mano
Si consideri l'applicazione lineare f: R4 -> R3 definita da
f(e1)=f1-f2+2f3
f(e2)=f1+f3
f(e3)=f1-2f2
f(e4)=f2-f3
Con (e1,e2,e3,e4) base canonica di R4 e (f1,f2,f3) base canonica di R3.
a. Trovare dimensione e base di kerf e imf
b. Determinare base di f(H) con H=L((1,1,0,0),(-1,3,0,-2),(1,5,0,-2))
Per il punto a non ho avuto problemi,
Per quanto riguarda il punto b come devo ...
Salve, ho un dubbio sulla costruzione della matrice diagonale, intesa come passaggio finale del processo di diagonalizzazione.
Cercando di farla breve, in quale "ordine" devo piazzare gli autovalori nella diagonale? Vi faccio un esempio:
Se sto cercando la matrice D tale che $D = H^(-1)AH$, dove
$A = | ( 5 , 0 , 1 ),( 0 , 4 , 0 ),( 3 , 0 , 1 ) | $ e $H = | ( 1 , 0 , 3 ),( 0 , 1 , 0 ),( 1 , 0 , 1 ) | $
è possibile determinare a priori che, come da soluzione: $D = | ( 2 , 0 , 0 ),( 0 , 4 , 0 ),( 0 , 0 , 4 ) | $ oppure si deve per forza calcolare l'inversa e fare il prodotto sopra ...
Salve
Ho un dubbio veloce: data l'applicazione $h:R^3rarrR^3$ tale che
$h(1,0,1) = (2,0,2)$
$h(1,0,-1) = (1,1,1) $
$h(0,0,1) = (1/2, -1/2, 1/2)$
Devo capire se esiste ed è unica.
Ora, chiaro che il vettore (0,0,1) è linearmente dipendente dagli altri due, come anche la sua immagine nello stesso identico modo; basta quindi questo a definire l'applicazione sopra descritta come "esistente ed unica"?
Perchè io sapevo che, affinchè una applicazione esistesse, dovevo avere che i vettori del dominio ...
Salve ragazzi ho questo esercizio di cui non mi torna il risultato:
In $ R^3 $ si consideri il seguente prodotto scalare :
$ x * y = 3 x_1 y_1 + 4 x_2 y_2 + x_3 y_3 $
Sia $ ( a_1, a_2, a_3) $ una base di $ R^3 $ con :
$ a_1 = (1,0,2) , a_2 = (1,3,4), a_3 = (0,3,4) $
Si determini la base ortonormale a partire da tale base con gramschmidt
Come risultato per il primo vettore riporta : $ v_1 = (1/ sqrt7, 0, 2/sqrt7 ) $
ma a me risulta $ v_1 = (1/ sqrt15, 0, 2/sqrt15) $
Ciao gente! Cimentandomi nel seguente esercizio, ho trovato due quesiti che non riesco a risolvere.
Data l'applicazione lineare: $ { ( f_(t)(1,0,0) = (t,0,0) ),( f_(t)(0,1,0) = (t+1, t^2+t, 0) ),( f_(t)(0,0,1) = (t^2-t, t-1, t^2-t)<br />
):} $
(a) Dire per quali valori di $tinr$ il vettore $v = (0,4,-4)$ appartiene all'immagine di $f_(t)$
Nella soluzione viene detto che, essendo l'applicazione suriettiva per $t!=0,+-1$ (per la precisione è biiettiva), il vettore v appartiene all'immagine; per gli altri valori, si hanno: $Im f_(0) = span(e_(1), e_(2)) = Im f_(1)$ ed infine ...
Giusto per ammazzare il tempo stavo svolgendo un po' di esercizi di algebra lineare quando mi son imbattuto nel seguente:
Sia $V$ uno spazio vettoriale di dimensione finita uguale a $n$, munito di un prodotto scalare $\phi$ definito positivo. Sia $f \in End(V)$ tale che $\sum_{\lambda \in Sp(f)} m\_{\lambda}=n$, dove $m\_{\lambda}$ indica la molteplicità algebrica.
Provare che $f$ è autoaggiunto se e solo se $tr(ff^\star)=\sum_{\lambda \in Sp(f)} m\_{\lambda}|\lambda|^2$.
Ora se $f$ è ...
Si considerino gli spazi vettoriali R2, R3, R4 riferiti alle rispettive basi canoniche B, B', B''.
Date le applicazioni lineari
f:R3 ->R2, A= $ ( ( 1 , -1 , 2 ),( 1 , -2 , 3 ) ) $
g:R4 ->R2, B= $ ( ( -3 , -4 , 3 , 0 ),( -5 , -9 , 4 , -1 ) ) $
Determinare se esiste un'applicazione lineare h:R4 ->R3 tale che f $ @ $ h =g
Dalla teoria so che h: R4 ->R3 ma come faccio a trovare la matrice associata ad h?
Grazie a chi mi spiega come procedere
Ho qualche dubbio sulle rette e i piani invarianti. Se mi viene dato un endomorfismo f di $R^3$ che manda (x, y, z) in (x+z, 3x+y-2z, x+y) per trovare le rette invarianti bisogna mettere a sistema x=x+z con y=3x+y-2z con z= x+y? E per trovare i piani invariati?
Dati i vettori $ x=[x1 x2 x3] $ e $ y(a)=a[-1 -1 -1] $ , $ ainR $ .
Determinare il valore di a* di a che rende minima la distanza tra x e y(a). Qual'è il significato geometrico di y(a*)?
Ps: in passato nel forum qualcuno ha posto una domanda molto simile però commettendo un errore nella scrittura del testo rendendone impossibile la risoluzione.
Ho provato nel seguente modo. Ho calcolato la distanza tra 2 vettori come:
$ d=sqrt((x1+a)^2+(x2+a)^2+(x3+a)^2) $
ma ora come trovo il valore di a che rende ...
Buongiorno! Mi sono proprio incastrato su un esercizio da esame
Si determinino equazioni delle rette che incidono l'asse delle z ed hanno uguale distanza positiva dai due piani
$rho: x+y-3z = 2$
$sigma: x+3y+z = 0$
Sicuramente, in forma parametrica, il punto iniziale sarà del tipo $(0,0,a)$ per quanto riguarda l'incidenza con l'asse z; poi però vado troppo in confusione, non mi è mai capitato nessun esercizio simile... Help please
Buonasera a tutti, colgo l'occasione per presentarmi, sono Andrea e studio Economia a Roma, ho conosciuto questo forum cercando risposte alle mie domande, trovando sempre degli ottimi esempi che in più occasioni mi hanno salvato
Questa volta vorrei proporre io un quesito:
Ho un sistema lineare del tipo Ax= B con:
A la matrice dei coefficienti $ ( ( 1, 1),( t+1, 1 ),( t, -1) ) $ e il vettore colonna dei termini noti, B $ ( ( t ),( 0 ),( 3 ) ) $
L'esercizio chiede di Studiare e determinare esplicitamente le ...
Salve a tutti. Sto preparando l'esame di Geometria I da studente lavoratore, e quindi non corsista. Nel programma della prof. riguardo gli spazi vettoriali di un campo K riporta anche basi, riferimenti e dimensione di uno spazio vettoriale. Per quanto riguarda basi e dimensioni non ho problemi a reperire materiale di studio, ma proprio non riesco a capire cosa intende per RIFERIMENTI di uno spazio! Vi prego ho bisogno di una mano! In un esercizio di una prova d'esame lo chiede proprio!
Sia ...
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Tutor AI: studia meglio e in meno tempo