Sistema lineare parametrico 3x2 con Cramer
Buonasera a tutti, colgo l'occasione per presentarmi, sono Andrea e studio Economia a Roma, ho conosciuto questo forum cercando risposte alle mie domande, trovando sempre degli ottimi esempi che in più occasioni mi hanno salvato 
Questa volta vorrei proporre io un quesito:
Ho un sistema lineare del tipo Ax= B con:
A la matrice dei coefficienti $ ( ( 1, 1),( t+1, 1 ),( t, -1) ) $ e il vettore colonna dei termini noti, B $ ( ( t ),( 0 ),( 3 ) ) $
L'esercizio chiede di Studiare e determinare esplicitamente le soluzioni al variare del parametro
reale t usando la regola di Cramer e di determinare, sempre esplicitamente le
soluzioni del sistema omogeneo associato al variare di t.
La prima cosa che ho fatto, essendo la matrice non quadrata, è stato calcolare il determinante della matrice completa A|B. che mi è risultato essere:
det(A|b) = $ | ( 1 , 1, t ),( t+1 , 1 , 0 ),( t , -1 , 3 ) | $ che è uguale a $ 2t(t+2) $ .
A questo punto ho constatato che, se $ t != 0 , -2 $ , allora $ rg(A|b) =3 $ e i sistemi sono dunque incompatibili.
Se però $ t = 0 , -2 $ il $ rg(A|b) $ scende, e potrebbe essere uguale al $ rg(A) $ quindi avere compatibilità dei sistemi, in particolare, per il teorema di Rouchè Capelli si avrebbe 1 soluzione.
In effetti, andando a sostituire prima $ 0 $ e poi $ -2 $ nella matrice $ (A) $ il $ rg(A)=2 $
per $ t=0 $ si ha $ ( ( 1 , 1 ),( 1 , 1 ),( 0 , -1 ) ) $ ci sono due righe uguali, quindi il $ rg(A)=2 $
per $ t=-2 $ si ha $ ( ( 1 , 1 ),( -1 , 1 ),( -2 , -1 ) ) $ prendendo ad esempio il minore formato dalla prima e dalla seconda
colonna si evince che
$ det(A) = 2 $ quindi il $ rg(A)=2=rg(A|b) $ pertanto il sistema ammette, per il teorema di RC 1 soluzione.
A questo punto però non riesco a capire come faccio a calcolare, o meglio, scegliere, di quale minore della matrice
dei coefficienti $ ( ( 1, 1),( t+1, 1 ),( t, -1) ) $ bisogna calcolarne il determinate, al fine di applicare la regola di Cramer
(valida da quanto so io specialmente per i sistemi quadrati, ma adattabile anche a quelli rettangolari ad esempio nei casi di ridondanza)
in altre parole, non riesco a capire quale $ \Delta $ inserire a denominatore per trovare
$ x=(\Deltax)/\Delta $
e
$ y=(\Deltay)/\Delta $
sostituendo rispettivamente nella colonna delle X e poi in quella delle Y il vettore colonna $ ( ( t ),( 0 ),( 3 ) ) $.
Per quanto riguarda il sistema omogeneo associato non credo di avere problemi, essendo sempre compatibile immagino che dovrò semplicemente capire per quali valori di t il sistema ammette la soluzione banale oppure $ oo^(n-r) $ soluzioni.
Ringrazio anticipatamente quanti riusciranno a togliermi quest'ultimo dubbio pre esame e mi scuso per la lunghezza della domanda o per eventuali errori che non ho considerato!
Grazie ancora,
saluti, Andrea!
Questa volta vorrei proporre io un quesito:
Ho un sistema lineare del tipo Ax= B con:
A la matrice dei coefficienti $ ( ( 1, 1),( t+1, 1 ),( t, -1) ) $ e il vettore colonna dei termini noti, B $ ( ( t ),( 0 ),( 3 ) ) $
L'esercizio chiede di Studiare e determinare esplicitamente le soluzioni al variare del parametro
reale t usando la regola di Cramer e di determinare, sempre esplicitamente le
soluzioni del sistema omogeneo associato al variare di t.
La prima cosa che ho fatto, essendo la matrice non quadrata, è stato calcolare il determinante della matrice completa A|B. che mi è risultato essere:
det(A|b) = $ | ( 1 , 1, t ),( t+1 , 1 , 0 ),( t , -1 , 3 ) | $ che è uguale a $ 2t(t+2) $ .
A questo punto ho constatato che, se $ t != 0 , -2 $ , allora $ rg(A|b) =3 $ e i sistemi sono dunque incompatibili.
Se però $ t = 0 , -2 $ il $ rg(A|b) $ scende, e potrebbe essere uguale al $ rg(A) $ quindi avere compatibilità dei sistemi, in particolare, per il teorema di Rouchè Capelli si avrebbe 1 soluzione.
In effetti, andando a sostituire prima $ 0 $ e poi $ -2 $ nella matrice $ (A) $ il $ rg(A)=2 $
per $ t=0 $ si ha $ ( ( 1 , 1 ),( 1 , 1 ),( 0 , -1 ) ) $ ci sono due righe uguali, quindi il $ rg(A)=2 $
per $ t=-2 $ si ha $ ( ( 1 , 1 ),( -1 , 1 ),( -2 , -1 ) ) $ prendendo ad esempio il minore formato dalla prima e dalla seconda
colonna si evince che
$ det(A) = 2 $ quindi il $ rg(A)=2=rg(A|b) $ pertanto il sistema ammette, per il teorema di RC 1 soluzione.
A questo punto però non riesco a capire come faccio a calcolare, o meglio, scegliere, di quale minore della matrice
dei coefficienti $ ( ( 1, 1),( t+1, 1 ),( t, -1) ) $ bisogna calcolarne il determinate, al fine di applicare la regola di Cramer
(valida da quanto so io specialmente per i sistemi quadrati, ma adattabile anche a quelli rettangolari ad esempio nei casi di ridondanza)
in altre parole, non riesco a capire quale $ \Delta $ inserire a denominatore per trovare
$ x=(\Deltax)/\Delta $
e
$ y=(\Deltay)/\Delta $
sostituendo rispettivamente nella colonna delle X e poi in quella delle Y il vettore colonna $ ( ( t ),( 0 ),( 3 ) ) $.
Per quanto riguarda il sistema omogeneo associato non credo di avere problemi, essendo sempre compatibile immagino che dovrò semplicemente capire per quali valori di t il sistema ammette la soluzione banale oppure $ oo^(n-r) $ soluzioni.
Ringrazio anticipatamente quanti riusciranno a togliermi quest'ultimo dubbio pre esame e mi scuso per la lunghezza della domanda o per eventuali errori che non ho considerato!
Grazie ancora,
saluti, Andrea!
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