Geometria e Algebra Lineare

Ciao a tutti! Ho due esercizi di stampo teorico che non riesco a risolvere purtroppo Ecco il testo: "Si consideri $ mathbb(R^4) $ dotato del prodotto scalare usuale. Si dica se le seguenti affermazioni sono sempre vere oppure no fornendo una dimostrazione nel caso in cui siano sempre vere ed un controesempio nel caso in cui non lo siano. (a) Se $S,T$ sono sottospazi tali che $S$ sia contenuto in $T$ allora $T^_|_$ è contenuto in ...

Buongiorno a tutti, vorrei se possibile un chiarimento sulla definzione di tensore. Ho letto che un tensore $T$ è una funzione che prende in input $h$ covettori e $k$ vettori e restituisce un numero. Perchè il tensore $T^{h/k}$ con $h=1$ e $k=0$ rappresenta un vettore mentre per $h=0$ e $k=1$ rappresenta un covettore ? (verrebbe da pensare il contrario). grazie a tutti

Salve a tutti, Ho cercato di risolvere questo esercizio in molti modi ma non riesco a dimostrare il parallelismo tra a retta e il piano. Vi allego la foto, mi auguro riusciate ad aiutarmi. Grazie a tutti!

Ciao Devo dimostrare questa proposizione: Siano: $V$ un $\mathbb{K}-$spazio vettoriale, $B$ base di $V$, $f \in End(V)$, $A = M_B(f)$(matrice associata a $f$ rispetto a $B$) e $p(t) \in \mathbb{K}[t]$. Allora $p(A) = M_B(p(f))$ Ho provato così: Supponiamo che $dim V = n$, $p(t) = t^na_n + ... + ta_1 + a_0 \in \mathbb{K[t]}$, $B = {v_1, ..., v_n}$ e sia $[ ]_B$ l'isomorfismo fra $V$ e $\mathbb{K^n}$ che associa ad ...

Ciao a tutti, è da qualche giorno che sto impazzendo con questo esercizio di geometria. A me sembra che manchi un dato fondamentale: il punto di tangenza tra la retta e la sfera, senza il quale non riesco a risolvere l'esercizio. Vi propongo il testo: "Determinare le equazioni delle rette passanti per il punto$ M = (0, 0, 1) $ , parallele al piano $ π: x+z = 0 $ e tangenti alla sfera di centro $ C = (0,4,2) $ e raggio pari a 2." Io so che una retta nello spazio è individuata da due ...

data $A= ( ( 6 , -9 ),( 4 , -6 ) ) $ determinare il sottospazio delle matrici X di $R^(2,2)$ tali che $AX=XA$ ho fatto $ ( ( 6 , -9 ),( 4 , -6 ) ) ( ( a , b ),( c , d ) )= ( ( a , b ),( c , d ) ) ( ( 6 , -9 ),( 4 , -6 ) ) $ sviluppato il prodotto risolto il sistema lineare e trovato d=0, a in relazione con b e c tramite un parametro libero s in modo che il sottospazio alla fine risulta generato da $ {(3s,-9/4s,s,0)} $ con dimensione uno ora essendo che il sistema lineare a due righe proporzionali è ragionevole che il rango sia 3 e che il parametro libero sia uno e che ...

Avrei bisogno di chiarimenti per quanto riguarda un argomento... Siano $\phi$ e $\psi$ due prodotti scalari, di cui $\phi$ definito positivo. Allora prendo $(V,\phi)$ spazio euclideo, e considero le matrici indotte dai due prodotti scalri nella base (per esempio) canonica. Avrò allora due matrici simmetriche $A=M_{can}(\phi)$ e $B=M_{can}(\psi)$ dove can indica la base canonica. Siccome sono in uno spazio euclideo e $B$ è simmetrica, per il ...

data la sfera $ \Sigma : x^2+y^2+z^2-2x+y = 0 $ e la retta ( data come intersezione di due piani) $ r : 2x+z−5=0 ; y + z = 0 $ trovare l'equazione dei piani tangenti a $ \Sigma $ che contengono la retta $ r$ Sembra un esercizio classico ma non mi torna! Ho ragionato così: considero il fascio di piani $ F: 2x+z−5 +k( y + z) = 0 $ impongo che la distanza del centro della sfera $(1,-frac{1}{2},0)$ al generico piano del fascio, sia uguale al raggio della sfera: $frac{sqrt(5)}{4}$. Ma mi escono numeri assurdi.

scusate ma non è un controsenso che due vettori paralleli siano dipendenti bar(v) t + bar(u) g = 0 da cui bar(v) = -bar(u)(g/t) ed allo stesso tempo perché due vettori siano paralleli devono essere proporzionali? bar(v) t/g = bar(u) da cui bar(v) = bar(u)(g/t)

Come faccio a trovare per quali valori di $h$ il vettore $v$ appartiene a $Imf$.

Siano u=(1,2,-1), v=(1,0,2), w=(1,-1,1) Determinare w' ortogonale a u, a v, avente norma uguale alla norma di w e formante un angolo ottuso con j. Ho pensato di porre a sistema le condizioni date quindi: Norma di w = 3^(1/2)=(w1'^2 +w2'^2+w3'^2)^(1/2); Cos(w'j)=w2‘/norma w'

scusate ma se per cambiare una matrice associata ad un applicazione lineare dalle basi B e C di dominio e codominio nelle basi B' C' si utilizza la relazione con P matrice di cambio di base da B a B' e Q matrice di cambio di base da C a C' : $A'=Q^-1AP$ e solo le matrici quadrate sono invertibili allora non è possibile cambiare la matrice da A a A' se codominio e dominio hanno stessa dimensione (ad esempio isomorfi) esempio $ { ( f(x1)=(2,3,4) ),( f(x2)=(4,5,6) ):} $ ad esempio se dovessi farlo qui dovrei ...

Salve a tutti, nella fig.2 a pag.6 del seguente documento: https://www.pololu.com/file/0J434/LSM303DLH-compass-app-note.pdf viene definito un angolo heading = arctag(Yh-Xh). Per calcolare questa folmula ho in mente solo i teoremi del triangolo rettangolo. Ma il triangolo in questione non è rettangolo. Quindi qual è il procedimento per ricavare heading??

ragazzi c'è una cosa che non mi è chiara date due basi $B=(v1 ,v2 ,v3)$ $B'=(v1', v2' ,v3')$ ad esempio $B=((2, 5, 7)(2, 3, 8)( 11, 13, 12)) $ $B'=((2, 5, 3)(2, 7 ,9)( 1, 0, 0))$ (ho scritto numeri a case) la matrice del cambiamento di base da B a B' è la matrice P che ha sulle colonne i vettori della base B' però per definire il cambiamento di base e la matrice P il libro dice di prendere due basi e ad esempio B e B' la sopra e P soddisfa la relazioni $ P^t( ( v1 ),( v2 ),( v3 ) )=<br /> ( ( v1' ),( v2' ),( v3' ) ) $ quindi P non può soddisfare sia la relazione scritta che ...

$ ( ( 1 , -1 , 1 , 1 ),( 2 , 1 , 0 , 1 ),( 3 , 0 , 1 , k ) ) $ data questa matrice associata ad un applicazione lineare il kernel nel caso $K=2$ cioè nel caso in cui il vettore che contiene k sia comb lin degli altri due, non mi da problemi nel caso $K!=2$ il kernel dovrebbe venire dai risultati $ker(f)={(-1,2,3,0)}$ insieme delle combinazioni lineare del vettore che ho scritto, che ho scritto cosi perchè non so fare il simbolo che indica l'insieme delle combinazioni lineari a me viene invece ...

ragazzi ho un dubbio riguardo la dimostrazione di questo teorema: sia ${a1...an}$ un insieme libero di un sottospazio W e sia $f:V->W$ un applicazioni lineare iniettiva allora ${f(a1)...f(an)}$ è anch'esso un insieme libero la dimostrazione inizia considerando una generica combinazioni lineare di un generico insieme di W ${f(a1)...f(an)}$ posta uguale a zero $lambda1f(a1)+...+lambdanf(an)}=0_w=f(0_v)=f(lambda1a1+...+lambdanan)$ per l'iniettività $lambda1a1+...+lambdanan=0_v$ insieme libero per ipotesi quindi $lambda1=...=lambdan=0$ secondo la ...

Salve a tutti, scrivo per chiedere alcune delucidazioni su un esercizio come questo: $\{(x + y + z = 1),(hx +hy+hz =k -a):}$ Devo verificare se il sistema è compatibile; io l'ho svolto così: ottengo rispettivamente le matrici A e B(completa) A=$((1,1,1),(h,h,h))$ B=$((1,1,1,1),(h,h,h,k-1))$ Deduco che il rango massimo per entrambe le matrici è pari a 2, in particolare il rango di A è 1 mentre per quanto riguarda B se calcolo il determinante del minore $((1,1),(h,k-1))$ ottengo $k-1-h$ da cui : rango di B = A ...

Ciao a tutti! dovrei trovare gli autovalori e gli autovettori della matrice $((1,1,0),(1,1,0),(1,-1,2))$ ma ho problemi a calcolare gli autovalori. Vedendo online con i risolutori automatici, gli autovalori dovrebbero essere 0 e 2 (con molteplicità algebrica 2) ma riesco a trovarmi solo 0 e 2 (con molt. 1) e non riesco a trovare l'errore :/ calcolando il polinomio caratteristico, mi viene $\lambda(-2+\lambda)$... ho provato anche a svolgere esplicitamente il quadrato di binomio (e non so nemmeno se si può ...

Ciao a tutti! ho alcuni problemi con questo esercizio di geometria: Fissato nel piano della geometria elementare un riferimento cartesiano monometrico ortogonale, si consideri la retta r : x + 2y − 1 = 0. (i) Rappresentare la retta s ortogonale a r e passante per il punto A(1, 0). (ii) Determinare una retta che abbia distanza radical 5 da r ho svolto il primo punto con la classica formula y-y1 = m(x-x1) e mi è venuta fuori la retta: s: -2x+y+2=0 come posso verificare di ...

Si determini la matrice $R$ che rappresenta una rotazione oraria di $\pi/6$ attorno al vettore $v=((-1),(1),(1))$ la matrice che rappresenta una rotazione attorno l'asse $z$ nella base canonica è $A=((cos(k),sin(k),0),(-sin(k),cos(k),0),(0,0,1))$ a questo punto dovrò scrivere questa matrice in un altra base in modo che rappresenti una rotazione attorno$v$ . ho scelto come base $B=((1),(0),(0)) ((0),(1),(0)) ((-1),(1),(1))$ a questo punto scrivo la matrice cambiamento di base $C=((1,0,1),(0,1,-1),(0,0,1))$ così ...