Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Ciao
Devo dimostrare questa proposizione:
Siano: $V$ un $\mathbb{K}-$spazio vettoriale, $B$ base di $V$, $f \in End(V)$, $A = M_B(f)$(matrice associata a $f$ rispetto a $B$) e $p(t) \in \mathbb{K}[t]$. Allora $p(A) = M_B(p(f))$
Ho provato così:
Supponiamo che $dim V = n$, $p(t) = t^na_n + ... + ta_1 + a_0 \in \mathbb{K[t]}$, $B = {v_1, ..., v_n}$ e sia $[ ]_B$ l'isomorfismo fra $V$ e $\mathbb{K^n}$ che associa ad ...
Ciao a tutti, è da qualche giorno che sto impazzendo con questo esercizio di geometria. A me sembra che manchi un dato fondamentale: il punto di tangenza tra la retta e la sfera, senza il quale non riesco a risolvere l'esercizio.
Vi propongo il testo:
"Determinare le equazioni delle rette passanti per il punto$ M = (0, 0, 1) $ , parallele al piano $ π: x+z = 0 $ e tangenti alla sfera di centro $ C = (0,4,2) $ e raggio pari a 2."
Io so che una retta nello spazio è individuata da due ...
data $A= ( ( 6 , -9 ),( 4 , -6 ) ) $
determinare il sottospazio delle matrici X di $R^(2,2)$ tali che $AX=XA$
ho fatto $ ( ( 6 , -9 ),( 4 , -6 ) ) ( ( a , b ),( c , d ) )= ( ( a , b ),( c , d ) ) ( ( 6 , -9 ),( 4 , -6 ) ) $
sviluppato il prodotto risolto il sistema lineare e trovato d=0, a in relazione con b e c tramite un parametro libero s
in modo che il sottospazio alla fine risulta generato da $ {(3s,-9/4s,s,0)} $ con dimensione uno
ora essendo che il sistema lineare a due righe proporzionali è ragionevole che il rango sia 3 e che il parametro libero sia uno e che ...
Avrei bisogno di chiarimenti per quanto riguarda un argomento... Siano $\phi$ e $\psi$ due prodotti scalari, di cui $\phi$ definito positivo. Allora prendo $(V,\phi)$ spazio euclideo, e considero le matrici indotte dai due prodotti scalri nella base (per esempio) canonica. Avrò allora due matrici simmetriche $A=M_{can}(\phi)$ e $B=M_{can}(\psi)$ dove can indica la base canonica. Siccome sono in uno spazio euclideo e $B$ è simmetrica, per il ...
data la sfera $ \Sigma : x^2+y^2+z^2-2x+y = 0 $ e la retta ( data come intersezione di due piani) $ r : 2x+z−5=0 ; y + z = 0 $ trovare l'equazione dei piani tangenti a $ \Sigma $ che contengono la retta $ r$
Sembra un esercizio classico ma non mi torna!
Ho ragionato così: considero il fascio di piani $ F: 2x+z−5 +k( y + z) = 0 $ impongo che la distanza del centro della sfera $(1,-frac{1}{2},0)$ al generico piano del fascio, sia uguale al raggio della sfera: $frac{sqrt(5)}{4}$.
Ma mi escono numeri assurdi.
scusate ma non è un controsenso che due vettori paralleli siano dipendenti
bar(v) t + bar(u) g = 0 da cui bar(v) = -bar(u)(g/t)
ed allo stesso tempo perché due vettori siano paralleli devono essere proporzionali?
bar(v) t/g = bar(u) da cui bar(v) = bar(u)(g/t)
Come faccio a trovare per quali valori di $h$ il vettore $v$ appartiene a $Imf$.
Siano u=(1,2,-1), v=(1,0,2), w=(1,-1,1)
Determinare w' ortogonale a u, a v, avente norma uguale alla norma di w e formante un angolo ottuso con j.
Ho pensato di porre a sistema le condizioni date quindi:
Norma di w = 3^(1/2)=(w1'^2 +w2'^2+w3'^2)^(1/2);
Cos(w'j)=w2‘/norma w'
scusate ma se per cambiare una matrice associata ad un applicazione lineare dalle basi B e C di dominio e codominio nelle basi B' C' si utilizza la relazione con P matrice di cambio di base da B a B' e Q matrice di cambio di base da C a C' :
$A'=Q^-1AP$ e solo le matrici quadrate sono invertibili allora non è possibile cambiare la matrice da A a A' se codominio e dominio hanno stessa dimensione (ad esempio isomorfi)
esempio $ { ( f(x1)=(2,3,4) ),( f(x2)=(4,5,6) ):} $
ad esempio se dovessi farlo qui dovrei ...
Salve a tutti,
nella fig.2 a pag.6 del seguente documento:
https://www.pololu.com/file/0J434/LSM303DLH-compass-app-note.pdf
viene definito un angolo heading = arctag(Yh-Xh).
Per calcolare questa folmula ho in mente solo i teoremi del triangolo rettangolo.
Ma il triangolo in questione non è rettangolo. Quindi qual è il procedimento per ricavare heading??
ragazzi c'è una cosa che non mi è chiara
date due basi $B=(v1 ,v2 ,v3)$ $B'=(v1', v2' ,v3')$
ad esempio $B=((2, 5, 7)(2, 3, 8)( 11, 13, 12)) $ $B'=((2, 5, 3)(2, 7 ,9)( 1, 0, 0))$
(ho scritto numeri a case)
la matrice del cambiamento di base da B a B' è la matrice P che ha sulle colonne i vettori della base B'
però per definire il cambiamento di base e la matrice P il libro dice di prendere due basi e
ad esempio B e B' la sopra e P soddisfa la relazioni $ P^t( ( v1 ),( v2 ),( v3 ) )=<br />
( ( v1' ),( v2' ),( v3' ) ) $
quindi P non può soddisfare sia la relazione scritta che ...
$ ( ( 1 , -1 , 1 , 1 ),( 2 , 1 , 0 , 1 ),( 3 , 0 , 1 , k ) ) $
data questa matrice associata ad un applicazione lineare
il kernel nel caso $K=2$ cioè nel caso in cui il vettore che contiene k sia comb lin degli altri due, non mi da problemi
nel caso $K!=2$ il kernel dovrebbe venire dai risultati
$ker(f)={(-1,2,3,0)}$ insieme delle combinazioni lineare del vettore che ho scritto, che ho scritto cosi perchè non so fare il simbolo che indica l'insieme delle combinazioni lineari
a me viene invece ...
ragazzi ho un dubbio
riguardo la dimostrazione di questo teorema:
sia ${a1...an}$ un insieme libero di un sottospazio W e sia $f:V->W$ un applicazioni lineare iniettiva
allora ${f(a1)...f(an)}$ è anch'esso un insieme libero
la dimostrazione inizia considerando una generica combinazioni lineare di un generico insieme di W ${f(a1)...f(an)}$ posta uguale a zero
$lambda1f(a1)+...+lambdanf(an)}=0_w=f(0_v)=f(lambda1a1+...+lambdanan)$
per l'iniettività $lambda1a1+...+lambdanan=0_v$ insieme libero per ipotesi quindi $lambda1=...=lambdan=0$
secondo la ...
Salve a tutti,
scrivo per chiedere alcune delucidazioni su un esercizio come questo:
$\{(x + y + z = 1),(hx +hy+hz =k -a):}$
Devo verificare se il sistema è compatibile; io l'ho svolto così:
ottengo rispettivamente le matrici A e B(completa)
A=$((1,1,1),(h,h,h))$ B=$((1,1,1,1),(h,h,h,k-1))$
Deduco che il rango massimo per entrambe le matrici è pari a 2, in particolare il rango di A è 1 mentre per quanto riguarda B se calcolo il determinante del minore $((1,1),(h,k-1))$ ottengo $k-1-h$ da cui :
rango di B = A ...
Ciao a tutti!
dovrei trovare gli autovalori e gli autovettori della matrice
$((1,1,0),(1,1,0),(1,-1,2))$
ma ho problemi a calcolare gli autovalori.
Vedendo online con i risolutori automatici, gli autovalori dovrebbero essere 0 e 2 (con molteplicità algebrica 2) ma riesco a trovarmi solo 0 e 2 (con molt. 1) e non riesco a trovare l'errore :/
calcolando il polinomio caratteristico, mi viene $\lambda(-2+\lambda)$...
ho provato anche a svolgere esplicitamente il quadrato di binomio (e non so nemmeno se si può ...
Ciao a tutti!
ho alcuni problemi con questo esercizio di geometria:
Fissato nel piano della geometria elementare un riferimento cartesiano monometrico ortogonale,
si consideri la retta r : x + 2y − 1 = 0.
(i) Rappresentare la retta s ortogonale a r e passante per il punto A(1, 0).
(ii) Determinare una retta che abbia distanza radical 5 da r
ho svolto il primo punto con la classica formula y-y1 = m(x-x1) e mi è venuta fuori la retta:
s: -2x+y+2=0
come posso verificare di ...
Si determini la matrice $R$ che rappresenta una rotazione oraria di $\pi/6$ attorno al vettore $v=((-1),(1),(1))$
la matrice che rappresenta una rotazione attorno l'asse $z$ nella base canonica è $A=((cos(k),sin(k),0),(-sin(k),cos(k),0),(0,0,1))$ a questo punto dovrò scrivere questa matrice in un altra base in modo che rappresenti una rotazione attorno$v$ . ho scelto come base
$B=((1),(0),(0)) ((0),(1),(0)) ((-1),(1),(1))$ a questo punto scrivo la matrice cambiamento di base $C=((1,0,1),(0,1,-1),(0,0,1))$ così ...
Salve a tutti,
mi chiedevo, c'è differenza tra base di un sottospazio vettoriale e base di un sottospazio vettoriale delle soluzioni di un sistema?
mi spiego meglio:
avendo questi due esercizi:
Determinare una base del sottospazio vettoriale delle soluzioni del seguente sistema di equazioni
lineari in 5 incognite su R
x1 +x2 +x3 −x4 +x5 = 0
2x1 +x2 −x3 −2x4 +x5 = 0
x1 −x2 −3x3 −x5 = 0
Determinare una base per ciascuno dei seguenti sottospazi vettoriali:
W = ...
Se ho capito bene il procedimento è questo:
Per scrivere le equazioni parametriche di una retta r parallela ad un vettore [v][/v] = [ ( a ),( b ),( c ) ] e passante per A=(x0, y0, z0) io dovrei considerare che un generico punto P=(x,y,z) appartiene alla retta r solo se il segmento AP è parallelo a [v][/v]. Considerando che il vettore equivalente ad AP è [ ( x-x0 ),( y - y0 ),( z - z0 ) ] allora non riesco a spiegarmi come si arrivi alla formula { ( x = x0 + at ),( y = y0 + bt ),( z = z0 + ct ...
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