Proiezione di un vettore su un sottospazio

[enricorrx]

Ciao a tutti!
Ho una domanda a cui non riesco a dare una risposta che proprio mi tormenta.

Supponiamo di avere un sottospazio \(\displaystyle U < V \) di base \(\displaystyle u_1,...,u_m \) qualsialsi.
Sia \(\displaystyle v \in V \). Voglio calcolare \(\displaystyle proj_U(v) \).

Bene, ora io so come svolgere questo semplice esercizio e che ci sono varie vie per farlo, ma non capisco perchè se la base non è ortogonale non posso applicare la formula

\(\displaystyle proj_U(v) = proj_{u_1}(v) + ... + proj_{u_m}(v) \)

Ho indicato con \(\displaystyle proj_u(v) = \frac {v \cdot u} {u \cdot u} u \)

Se qualcuno mi aiuta a capire perché gli sarei molto grato

[ciampax]

Disegna due triangoli, uno rettangolo e uno in cui aumenti o diminuisci l'angolo retto (è lo stesso). Poi immagina $V$ come la retta su cui giace la base dei due triangoli e il vettore $u$ come se fosse appartenente all'ipotenusa. La proiezione di $u$ su $V$, nel triangolo rettangolo (dove le basi sono ortogonali), la vedi proprio tirando giù l'altezza sulla base, ma nell'altro triangolo ti accorgi che tale altezza non coincide più con il lato rimanente. Ti è chiaro perché non puoi usare quella formula, se le basi non sono ortogonali?

[enricorrx]

Mi dispiace ma non mi soddisfa questa dimostrazione. Soprattutto perché così sei in 2 dimensioni, dim(U)=1 e la formula sopra mi risulta applicabile!

[ciampax]

Non è una dimostrazione. Ti ho fatto un esempio per vedere se riesci ad arrivarci da te al perché non funziona senza una base ortogonale...