$Ker(f) + Im(f) = V$

[tommy1996q]

Avrei un problema a dimostrare (o a confutare) che dato uno spazio vettoriale $V$ e un' applicazione lineare $f$, si ha che

$$Ker(f)\oplus Im(f)=V \leftrightarrow f^2=f$$

Riesco a dimostrare la freccia verso sinistra, vedendo che $ \forall v\in V$, $ v=f(v)+ (v-f(v))$, con $f(v)\in Im(f)$ e $v-f(v)\in Ker(f)$ e facendo un discorso dimensionale, ma non riesco a dimostrare (o confutare) la freccia verso destra. Grazie dell' aiuto!

[Shocker1]

Ciao


Sia $V = \mathbb{R^3}$, $f \in End(\mathbb{R^3})$ definito così su $B = {e_1, e_2, e_3}$:

$f(e_1) = 0$, $f(e_2) = e_3$, $f(e_3) = e_2$, hai che $\mathbb{R^3} = Kerf \oplus Imf$ ma $f^2 != f$ per qualche $v \in \mathbb{R^3}$, per esempio $f^2(e_2) = f(f(e_2)) = f(e_3) = e_2 != f(e_2) = e_3$

Secondo te può andare come controesempio?

[tommy1996q]

Perfetto, grazie!