Dimensione e base di $Im[f]$ e $Ker[f]$
Ho dubbi sulla correttezza del seguente esercizio:
Data la funzione lineare $f(bar(x))=Abar(x)$ con
determina l'insieme di definizione e di arrivo della funzione $f$.
Calcola la dimensione ed una base del sottospazio immagine $Im[f]$ e del sottospazio kernel $Ker[f]$.
1. Gli insiemi di definizione e di arrivo sono, rispettivamente, $f:R^3->R^4$
2.1. Per la dimensione del sottospazio immagine ho:
$dim(Im[f])=R(A)->A=[ ( 1 , 2 , -3 ),( 2 , 0 , -4 ),( -1 , 2 , 1 ),( -1 , 5 , 8 ) ]->det| ( 1 , 2 , -3 ),( 2 , 0 , -4 ),( -1 , 2 , 1 ) |=0; det | ( 2 , 0 , -4 ),( -1 , 2 , 1 ),( -1 , 5 , 8 ) |=34!=0->R(A)=3 rArr dim(Im[f])=3$
2.2. La base del sottospazio immagine è ${[ ( 1 ) , ( 2 ) , ( -1 ) , ( -1 ) ]$, $[ ( 2 ) , ( 0 ) , ( 2 ) , ( 5 ) ]$ , $[ ( -3 ) , ( -4 ) , ( 1 ) , ( 8 )]}$.
2.3 Per la dimensione del sottospazio kernel ho:
$dim(Im[f])+dim(Ker[f])=n rArr dim(Ker[f])=n-dim(Im[f])=3-3=0$
2.4. Non ha senso calcolare la base del sottospazio kernel se $dim(Im[f])=0$
I miei dubbi sono:
1) Qual è il modo formale per scrivere la base del sottospazio immagine?
Stavo pensando di scrivere $Im[f]={bar(y) in R^4 : EE alpha1,alpha2,alpha3 in R | bar(y)=alpha1[ ( 1 ) , ( 2 ) , ( -1 ) , ( -1 ) ]+alpha2[ ( 2 ) , ( 0 ) , ( 2 ) , ( 5 ) ]+alpha3[ ( -3 ) , ( -4 ) , ( 1 ) , ( 8 )]}$
2) E' giusto affermare che non ha senso calcolare la base del sottospazio kernel? Se sì, è giusto limitarsi a questo.
Data la funzione lineare $f(bar(x))=Abar(x)$ con
$ A=[ ( 1 , 2 , -3 ),( 2 , 0 , -4 ),( -1 , 2 , 1 ),( -1 , 5 , 8 ) ] $
determina l'insieme di definizione e di arrivo della funzione $f$.
Calcola la dimensione ed una base del sottospazio immagine $Im[f]$ e del sottospazio kernel $Ker[f]$.
1. Gli insiemi di definizione e di arrivo sono, rispettivamente, $f:R^3->R^4$
2.1. Per la dimensione del sottospazio immagine ho:
$dim(Im[f])=R(A)->A=[ ( 1 , 2 , -3 ),( 2 , 0 , -4 ),( -1 , 2 , 1 ),( -1 , 5 , 8 ) ]->det| ( 1 , 2 , -3 ),( 2 , 0 , -4 ),( -1 , 2 , 1 ) |=0; det | ( 2 , 0 , -4 ),( -1 , 2 , 1 ),( -1 , 5 , 8 ) |=34!=0->R(A)=3 rArr dim(Im[f])=3$
2.2. La base del sottospazio immagine è ${[ ( 1 ) , ( 2 ) , ( -1 ) , ( -1 ) ]$, $[ ( 2 ) , ( 0 ) , ( 2 ) , ( 5 ) ]$ , $[ ( -3 ) , ( -4 ) , ( 1 ) , ( 8 )]}$.
2.3 Per la dimensione del sottospazio kernel ho:
$dim(Im[f])+dim(Ker[f])=n rArr dim(Ker[f])=n-dim(Im[f])=3-3=0$
2.4. Non ha senso calcolare la base del sottospazio kernel se $dim(Im[f])=0$
I miei dubbi sono:
1) Qual è il modo formale per scrivere la base del sottospazio immagine?
Stavo pensando di scrivere $Im[f]={bar(y) in R^4 : EE alpha1,alpha2,alpha3 in R | bar(y)=alpha1[ ( 1 ) , ( 2 ) , ( -1 ) , ( -1 ) ]+alpha2[ ( 2 ) , ( 0 ) , ( 2 ) , ( 5 ) ]+alpha3[ ( -3 ) , ( -4 ) , ( 1 ) , ( 8 )]}$
2) E' giusto affermare che non ha senso calcolare la base del sottospazio kernel? Se sì, è giusto limitarsi a questo.
Risposte
"mobley":
1) Qual è il modo formale per scrivere la base del sottospazio immagine?
così: una base dell'immagine è $ {( ( 1 ),( 2 ),( -1 ), (-1) ), ( ( 2 ),( 0 ),( 2 ), (5) ),( ( -3 ),( -4 ),( 1 ), (8) ) } $
"mobley":
2) E' giusto affermare che non ha senso calcolare la base del sottospazio kernel? Se sì, è giusto limitarsi a questo.
direi che non è che non abbia senso. direi piuttosto che una qualsiasi base del nucleo è l'insieme vuoto. questo perchè $ker f ={0}$ e quindi la dimensione è nulla (e per definizione di dimensione la cardinalità di una qualunque sua base è zero).
Perfetto grazie! 
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