Omeomorfismo tra insieme quoziente e intervallo
Ciao a tutti, ammesso che il mio svolgimento sia corretto, non riesco a trovare un omeomorfismo per concludere. Ecco la traccia
Soluzione
Per prima cosa ho cercato di capire come è fatto l'insieme quoziente: poiché in $X$ non vi sono punti uguali a se stessi, si ha solo un identificazione dei punti $1$ e $2$. Pertanto il quoziente è un segmento che va da $1$ a $3$ con estremi inclusi in cui $1-=2$.
Anche se non esplicitamente richiesto dalla traccia, ho cercato di capire chi sono gli aperti nella topologia quoziente sfruttando il fatto che $U \in X//~ <=> \pi^-1(U) \in \tau_X$, con $\pi$ proiezione canonica sul quoziente e $\tau_X$ topologia indotta da quella euclidea su $X$.
Se piglio un insieme del tipo $(a,b)$ con $[1] \notin (a,b)$ ho che $pi^(-1)(a,b)=(a,b) \in tau$ e quindi è un aperto.
Se invece $[1] \in (a,b)$, ho che $\pi^-1(a,b)=(a,1] uuu [2,b)$ e questi non possono essere aperti in $\tau_X$.
Se prendo $[1] \in [a,b)$, allora $pi^-1([a,b)=[1,3)$, che ancora non appartiene a $\tau_X$.
Pertanto gli aperti sono gli intervalli del tipo $(a,b)$ che non contengono $[1]$.
Ora per determinare l'omeomorfismo richiesto ho pensato di poter usare proprio la proiezione canonica $pi:X \rarr X//~$, $x \mapsto [x]$, ma non mi sembra possa andare bene in quanto non è nemmeno iniettiva ($[1]=pi(1)=pi(2)$)...
Grazie a chiunque avrà la cortesia di rispondere
Sia $X=[0,1] uuu [2,3]$ e $Y=[0,1]$ con la topologia indotta da quella euclidea. Consideriamo la relazione di equivalenza $~ $ su $X$ tale che $ x ~ y <=> x=y " o " {x,y}={1,2}$.
Verificare che $X//~ $ è omeomorfo a $Y$
Soluzione
Per prima cosa ho cercato di capire come è fatto l'insieme quoziente: poiché in $X$ non vi sono punti uguali a se stessi, si ha solo un identificazione dei punti $1$ e $2$. Pertanto il quoziente è un segmento che va da $1$ a $3$ con estremi inclusi in cui $1-=2$.
Anche se non esplicitamente richiesto dalla traccia, ho cercato di capire chi sono gli aperti nella topologia quoziente sfruttando il fatto che $U \in X//~ <=> \pi^-1(U) \in \tau_X$, con $\pi$ proiezione canonica sul quoziente e $\tau_X$ topologia indotta da quella euclidea su $X$.
Se piglio un insieme del tipo $(a,b)$ con $[1] \notin (a,b)$ ho che $pi^(-1)(a,b)=(a,b) \in tau$ e quindi è un aperto.
Se invece $[1] \in (a,b)$, ho che $\pi^-1(a,b)=(a,1] uuu [2,b)$ e questi non possono essere aperti in $\tau_X$.
Se prendo $[1] \in [a,b)$, allora $pi^-1([a,b)=[1,3)$, che ancora non appartiene a $\tau_X$.
Pertanto gli aperti sono gli intervalli del tipo $(a,b)$ che non contengono $[1]$.
Ora per determinare l'omeomorfismo richiesto ho pensato di poter usare proprio la proiezione canonica $pi:X \rarr X//~$, $x \mapsto [x]$, ma non mi sembra possa andare bene in quanto non è nemmeno iniettiva ($[1]=pi(1)=pi(2)$)...
Grazie a chiunque avrà la cortesia di rispondere
Risposte
E' evidente che $X$ è omeomorfo ad una unione disgiunta di due copie di $[0,1]$, e che c'è una mappa canonica \(\nabla : X \to [0,1]\) (indotta per proprietà universale del coprodotto dalla coppia \(\text{id}_{[0,1]}, \text{id}_{[0,1]}\)). Tratterò dunque $X$ come se fosse esattamente \([0,1]\amalg [0,1]\) (la verità del risultato non ne viene inficiata perché se $X'\cong X$, allora \(X/_{\!\simeq}\cong Y\) se e solo se \(X'/_{\!\simeq}\cong Y\)).
Lo spazio \(X/_{\!\simeq}\), ora, risulta dal pushout della coppia
\[
\begin{CD}
R @>p_1>> X \\
@Vp_2VV \\
X
\end{CD}
\]
dove le due mappe sono le proiezioni da \(R \subseteq X\times X\), la relazione di equivalenza che hai definito.
Si tratta sostanzialmente di dimostrare che il quadrato
\[
\begin{CD}
R @>p_1>> X \\
@Vp_2VV @VV\iota V\\
X @>>\iota > [0,1]
\end{CD}
\]
ha la proprietà universale di un pushout: se la si scrive, si nota che essa ammonta a chiedere che, data una funzione \(f : X \to Z\) per un generico altro spazio topologico $Z$, tale che $f(x)=f(y)$ per ogni $(x,y)\in R$, allora esiste un'unica \(F : [0,1]\to Z\) tale che \(F\circ \iota =f \).
Del resto il fatto che $f(x)=f(y)$ per ogni $(x,y)\in R$, assieme alla definizione del suo dominio, equivale a dire che stai dando due funzioni $f_0 : [0,1] \to Z$, $f_1 : [0,1] \to Z$ tali per cui $f_0(1)=f_1(2)$, sicché puoi definire $F$ ponendo
\[
F(t) =
\begin{cases}
f_0(2t) & \text{ se } t\le 1/2\\
f_1(2t-1) & \text{ se } 1/2 \le t \le 1.
\end{cases}
\]
Lo spazio \(X/_{\!\simeq}\), ora, risulta dal pushout della coppia
\[
\begin{CD}
R @>p_1>> X \\
@Vp_2VV \\
X
\end{CD}
\]
dove le due mappe sono le proiezioni da \(R \subseteq X\times X\), la relazione di equivalenza che hai definito.
Si tratta sostanzialmente di dimostrare che il quadrato
\[
\begin{CD}
R @>p_1>> X \\
@Vp_2VV @VV\iota V\\
X @>>\iota > [0,1]
\end{CD}
\]
ha la proprietà universale di un pushout: se la si scrive, si nota che essa ammonta a chiedere che, data una funzione \(f : X \to Z\) per un generico altro spazio topologico $Z$, tale che $f(x)=f(y)$ per ogni $(x,y)\in R$, allora esiste un'unica \(F : [0,1]\to Z\) tale che \(F\circ \iota =f \).
Del resto il fatto che $f(x)=f(y)$ per ogni $(x,y)\in R$, assieme alla definizione del suo dominio, equivale a dire che stai dando due funzioni $f_0 : [0,1] \to Z$, $f_1 : [0,1] \to Z$ tali per cui $f_0(1)=f_1(2)$, sicché puoi definire $F$ ponendo
\[
F(t) =
\begin{cases}
f_0(2t) & \text{ se } t\le 1/2\\
f_1(2t-1) & \text{ se } 1/2 \le t \le 1.
\end{cases}
\]
Grazie killing_buddha per la risposta esauriente! Purtroppo sono solo al secondo anno di matematica e pertanto la maggior parte delle argomentazioni che mi hai fornito mi risulta difficilmente comprensibile (pushout, coprodotto). Non esiste un'argomentazione più elementare per dimostrare che questi due spazi topologici sono omeomorfi?
Non vorrei passasse il messaggio che ti stia spudoratamente chiedendo la soluzione, è che faccio realmente fatica a comprendere come procedere.
Per esempio, fino ad ora l'omeomorfismo ci è sempre stato richiesto "esplicitamente", invece mi pare di capire (spero!) dalle tue righe che ci sia una motivazione teorica per cui questo è vero.
Non vorrei passasse il messaggio che ti stia spudoratamente chiedendo la soluzione, è che faccio realmente fatica a comprendere come procedere.
Per esempio, fino ad ora l'omeomorfismo ci è sempre stato richiesto "esplicitamente", invece mi pare di capire (spero!) dalle tue righe che ci sia una motivazione teorica per cui questo è vero.
In genere per dimostrare che un quoziente è omeomorfo a qualcosa si cerca una funzione dallo spazio a quel qualcosa, che sia continua, suriettiva e aperta o chiusa, non solo ma devi fare in modo che la relazione di equivalenza che ti ritrovi sia uguale a quella che identifica due punti se hanno la stessa immagine, prova così e facci sapere.
Grazie anche a te @otta96!
Non so perché ma la proiezione sul quoziente secondo me c'entra qualcosa, non è che posso considerare questa $f: X//~ \rarr Y, [x] \mapsto x$ ? La sua inversa è continua ed è la proiezione canonica... sono proprio fuori strada
Non so perché ma la proiezione sul quoziente secondo me c'entra qualcosa, non è che posso considerare questa $f: X//~ \rarr Y, [x] \mapsto x$ ? La sua inversa è continua ed è la proiezione canonica... sono proprio fuori strada
Anzi forse ho trovato!
$f:X// ~ rarr Y$
$[t] \mapsto t/2$ se $t \in [0,1/2)$
$[t] \mapsto (t-1)/2$ se $t \in (1/2,1]$
Questa è continua, biettiva e con inversa continua
$f:X// ~ rarr Y$
$[t] \mapsto t/2$ se $t \in [0,1/2)$
$[t] \mapsto (t-1)/2$ se $t \in (1/2,1]$
Questa è continua, biettiva e con inversa continua
Io direi più una cosa del genere: $f:X->Y$,, con $f(x)={(x/2,if x\in[0,1]),((x-1)/2,if x\in[2,3]):}$, che è continua, chiusa (da un compatto a un $T_2$), suriettiva e $f(x)=f(y)iffx~y$, quindi soddisfa le ipotesi che avevo detto, si passa al quoziante ed ecco servito l'omeomorfismo.
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