Boundy Point di un insieme

[mklplo751]

Salve,studiando ,mi so ritrovato davanti a un concetto che non ho ben capito,cioè quello di boundary point(il termine non lo so tradurre) di un insieme,il mio dubbio è che non capisco come determinare se un insieme sia o meno denso,partendo da questa definizione:
"Un sottoinsieme $S$ di uno spazio topologico $X$ è detto denso in $X$ se e solo se,l'unione di $S$ e di tutti i suoi boundary point sono uguali a $X$"
Vi faccio un esempio,se io dovessi determinare se $Q$ sia o meno denso rispetto ad $R$,non saprei come ricavare i suoi boundary point,stessa cosa se io volessi determinare se $Z$ sia o meno denso rispetto ad $R$.
Se non vi reca disturbo,qualcuno potrebbe aiutarmi?

[otta96]

Quale definizione hai sotto mano di boundary point? Provo a indovinarla, poi semmai smentiscimi, ma potrebbe essere: $x_0$ si dice boundary point per $S$ in $X$ se $AAU\subX$ intorno di $x_0$ si ha che $S\capU-{x_0}!=\emptyset$.
In tal caso io l'ho visto tradotto come punto di accumulazione o di aderenza, nel caso di $QQ$, se prendi qualsiasi reale $x_0$, esiste sempre un razionale $q$ che dista da $x_0$ meno di $\epsilon$, cioè $\emptyset!={q}\subQQ\cap((x_0-\epsilon,,x_0+\epsilon)-{x_0})$, quindi è denso, prova a farlo tu il caso di $ZZ$.

[mklplo751]

Grazie per aver risposto e sì la definizione che avevo era quella.Se non sbaglio,in $Z$ la "distanza" deve essere necessariamente $1$,e quindi se prendo $epsilon<1$,ottengo che l'insieme non è denso,giusto?

[otta96]

In realtà la distanza non è necessariamente $1$, ma un numero naturale, ad ogni modo la conclusione è giusta.

[mklplo751]

Grazie,effettivamente con $1$ dovevo specificare che era la distanza minima.
Ma se invece di prendere insiemi "base" mi fosse stato dato uno spazio topologico e un suo sottoinsieme,come avrei dovuto fare a capire che $q

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[otta96]

"mklplo":Ma se invece di prendere insiemi "base" mi fosse stato dato uno spazio topologico e un suo sottoinsieme,come avrei dovuto fare a capire che $q
Non ci ho capito nulla, puoi essere più chiaro?

[mklplo751]

In pratica se io dovessi determinare che un insieme aperto $E$ sia denso rispetto a uno spazio topologico $Y$ come dovrei fare?
Nel senso come faccio a capire che tra due elementi di $E$ c'è sempre un'altro elemento del suddetto insieme?

[otta96]

In generale c'è poco da fare, bisogna applicare la definizione, oppure determinare la chiusura (che però alla fine è la stessa cosa) e ci possiamo anche dimenticare di poter dire "tra due elementi", non è detto che gli elementi siano in un qualche ordine, ci possiamo anche dimenticare della distanza, quella c'è solo negli spazi metrici.

[mklplo751]

Ti ringrazio nuovamente

[killing_buddha]

In generale c'è poco da fare, bisogna applicare la definizione

Ci sono altri criteri per verificare la densita' di una mappa continua, che fanno delle ipotesi sulla classe di spazi dove li enunci: il piu' generale che mi viene in mente e' che $X$ e' T2 allora una inclusione \(i : A\subseteq X\) e' densa se e solo se $i$ e' un epimorfismo: cio' significa che quando due funzioni continue $u,v : X\to Y$ coincidono su $A$, allora coincidono su tutto $X$.

Ce n'e' poi uno prettamente algebrico che usa la dualita' di Gel'fand. Ogni mappa continua \( f : X\to Y\) tra spazi topologici che siano di Hausdorff e compatti induce un omomorfismo
\[
f^\star : C(Y) \longrightarrow C(X)
\] tra le algebre delle funzioni continue \(C(H)=\{ \alpha : X \to \mathbb C \mid \alpha\text{ continua}\}\). Omomorfismo significa che entrambi $C(X), C(Y)$ hanno naturalmente una struttura di anello (di piu', sono $\mathbb C$-algebre di Banach) ed \(f^\star\) e' un omomorfismo di anelli rispetto a queste strutture. Allora $f$ e' densa se, e solo se, ogni elemento di \(\ker f\) e' nilpotente.

[mklplo751]

Grazie,anche a te,ma cosa significano "T2" e $kerf$?

[killing_buddha]

Ommadonna

T2 è uno spazio che soddisfa la condizione di Hausdorff: punti distinti hanno intorni disgiunti.

ker f è il nucleo di un omomorfismo, ovvero la controimmagine dello zero mediante l'omomorfismo.

[mklplo751]

Ok,ora ho capito,grazie nuovamente e scusa se non sapevo queste cose,e che il libro faceva solo una rapida introduzione alla topologia generale e alla teoria degli insiemi.