Dubbio sugli endomorfismi simmetrici
Salve,
avrei un dubbio riguardante gli endomorfismi simmetrici.
La definizione (una delle definizioni) di endomorfismo simmetrico è:
dato $f in End(V)$, $f$ si dice simmetrico se $(f(\ul u),\ul v) = (\ul u,f(\ul v))$ $AA \ul u, \ul v in V$
Facendo un esercizio mi è venuto in mente.. ma questa condizione, non è per caso equivalente alla stessa condizione, ma ristretta ad una base qualsiasi di $V$?
Così ho provato a vedere se funzionava
1) Ovviamente, se vale per ogni coppia di vettori in $V$, in particolare deve valere per la base in questione
2) Dati $\ul u, \ul v in V$ e $A = {\ul a_1, \ul a_2, ... , \ul a_n}$ base di $V$ ($dim(V) = n$), possiamo scrivere i due vettori come
$\ul u = \sum_{i=1}^n u_i\ul a_i$
$\ul v = \sum_{j=1}^n v_j\ul a_j$
Vediamo ora quanto vale $(f(\ul u),\ul v)$
$(f(\ul u),\ul v) = (f(\sum_{i=1}^n u_i\ul a_i),\sum_{j=1}^n v_j\ul a_j) = (\sum_{i=1}^n u_i f(\ul a_i),\sum_{j=1}^n v_j\ul a_j) = \sum_{i,j=1}^n u_iv_j(f(\ul a_i),\ul a_j)$
Facendo lo stesso con $(\ul u,f(\ul v))$
$(\ul u,f(\ul v)) = \sum_{i,j=1}^n u_iv_j(\ul a_i,f(\ul a_j))$
Dunque, se $AA i,j$ vale $(f(\ul a_i),\ul a_j) = (\ul a_i,f(\ul a_j))$, allora vale anche per $\ul u$ e $\ul v$
Vorrei sapere se c'è qualcosa di sbagliato. A me sembra corretto; solo che sulle dispense da cui studio non dice nulla a riguardo e, cercando in rete (devo dire che non ho cercato molto), non ho trovato nulla.
Grazie in anticipo per l'aiuto
avrei un dubbio riguardante gli endomorfismi simmetrici.
La definizione (una delle definizioni) di endomorfismo simmetrico è:
dato $f in End(V)$, $f$ si dice simmetrico se $(f(\ul u),\ul v) = (\ul u,f(\ul v))$ $AA \ul u, \ul v in V$
Facendo un esercizio mi è venuto in mente.. ma questa condizione, non è per caso equivalente alla stessa condizione, ma ristretta ad una base qualsiasi di $V$?
Così ho provato a vedere se funzionava
1) Ovviamente, se vale per ogni coppia di vettori in $V$, in particolare deve valere per la base in questione
2) Dati $\ul u, \ul v in V$ e $A = {\ul a_1, \ul a_2, ... , \ul a_n}$ base di $V$ ($dim(V) = n$), possiamo scrivere i due vettori come
$\ul u = \sum_{i=1}^n u_i\ul a_i$
$\ul v = \sum_{j=1}^n v_j\ul a_j$
Vediamo ora quanto vale $(f(\ul u),\ul v)$
$(f(\ul u),\ul v) = (f(\sum_{i=1}^n u_i\ul a_i),\sum_{j=1}^n v_j\ul a_j) = (\sum_{i=1}^n u_i f(\ul a_i),\sum_{j=1}^n v_j\ul a_j) = \sum_{i,j=1}^n u_iv_j(f(\ul a_i),\ul a_j)$
Facendo lo stesso con $(\ul u,f(\ul v))$
$(\ul u,f(\ul v)) = \sum_{i,j=1}^n u_iv_j(\ul a_i,f(\ul a_j))$
Dunque, se $AA i,j$ vale $(f(\ul a_i),\ul a_j) = (\ul a_i,f(\ul a_j))$, allora vale anche per $\ul u$ e $\ul v$
Vorrei sapere se c'è qualcosa di sbagliato. A me sembra corretto; solo che sulle dispense da cui studio non dice nulla a riguardo e, cercando in rete (devo dire che non ho cercato molto), non ho trovato nulla.
Grazie in anticipo per l'aiuto
Risposte
"debez":
... solo che sulle dispense da cui studio non dice nulla a riguardo ...
Non mi scandalizzerei se lo dessero per scontato.
Ah.. eheh. Beh finora non avevo mai avuto l'occasione di pormi il problema. Ma dato che ne ho avuto bisogno per risolvere un esercizio, mi sono chiesto come mai non fosse riportato. Comunque grazie per la conferma 
Ad ogni modo, complimenti per la dimostrazione. 
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo