Sottospazi vettoriali
Ciao, mi servirebbe un piccolo aiuto per questo esercizio :
Stabilire quali dei seguenti sottoinsiemi sono sottospazi vettoriali e, in caso affermativo, determinarne la dimensione ed una base.
$W_1 = {(0,0),(-1,1),(5,-5)} \in R^2$
$W_2 = {(x_1,x_2,x_3,x_4) : x_1^2 + x_2 - x_3 = 0}\ \in R^5$
$W_3 = {(x_1,x_2,x_3,x_4) : x_1 + x_2 - x_3 = x_4 - 3x_5 = 0} \in R^4$
Io so solo che un sottospazio vettoriale è un sottospazio in cui valgono le operazioni di chiusura rispetto alla somma e ad uno scalare, ma non so come dimostrarlo (soprattutto per $W_2 e W_3$), mi date una mano?
Stabilire quali dei seguenti sottoinsiemi sono sottospazi vettoriali e, in caso affermativo, determinarne la dimensione ed una base.
$W_1 = {(0,0),(-1,1),(5,-5)} \in R^2$
$W_2 = {(x_1,x_2,x_3,x_4) : x_1^2 + x_2 - x_3 = 0}\ \in R^5$
$W_3 = {(x_1,x_2,x_3,x_4) : x_1 + x_2 - x_3 = x_4 - 3x_5 = 0} \in R^4$
Io so solo che un sottospazio vettoriale è un sottospazio in cui valgono le operazioni di chiusura rispetto alla somma e ad uno scalare, ma non so come dimostrarlo (soprattutto per $W_2 e W_3$), mi date una mano?
Risposte
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bhe sul primo non mi pare ci sia niente da dimostrare.
per il secondo: non è sottospazio perchè non è lineare.
il terzo lo è perchè formato da equazioni lineari e omogenee.
bhe sul primo non mi pare ci sia niente da dimostrare.
per il secondo: non è sottospazio perchè non è lineare.
il terzo lo è perchè formato da equazioni lineari e omogenee.
"cooper":
bhe sul primo non mi pare ci sia niente da dimostrare.
Purtroppo il prof ha anche specificato tra parentesi "(spiegandone i motivi)" quindi è obbligatorio
"cooper":
per il secondo: non è sottospazio perchè non è lineare.
"cooper":
il terzo lo è perchè formato da equazioni lineari e omogenee.
Ora per quanto riguarda l'ultimo, devo trovare una dimensione ed una base. Non l'ho mai fatto nel caso di incognite (solo per i vettori) e non trovo in giro appigli, puoi darmi una dritta?
Grazie mille
per il primo sottospazio: che io sapessi un insieme di vettori può sempre essere considerato come un sottospazio, non vedo la ragione per non farlo. 
devi risolvere il sistema: $ { ( x_1 +x_2 -x_3=0 ),( x_4-3x_5=0 ):} $
e capire come è fatto un generico vettore del sottospazio e da lì trovare la base.
secondo me però c'è un qualche errore: quell' $x_5$ non ha ragione d'esistere in $RR^4$
se me lo confermi abbiamo un problema (
), se lo correggi posso provare a metterti in spoiler la soluzione.
devi risolvere il sistema: $ { ( x_1 +x_2 -x_3=0 ),( x_4-3x_5=0 ):} $
e capire come è fatto un generico vettore del sottospazio e da lì trovare la base.
secondo me però c'è un qualche errore: quell' $x_5$ non ha ragione d'esistere in $RR^4$
se me lo confermi abbiamo un problema (
), se lo correggi posso provare a metterti in spoiler la soluzione.
$3x_5$ c'è nell'esercizio e non penso sia un errore anche perchè un altro sottospazio che mi viene proposto è :
$W_4 = {(x_1,x_2,x_3x_4) : x_1 = 2x_2 - x_3; x_4 = x_5 = 0} \in R^4$
$W_4 = {(x_1,x_2,x_3x_4) : x_1 = 2x_2 - x_3; x_4 = x_5 = 0} \in R^4$
e allora abbiamo un problema. come fa un sottoinsieme di $RR^4$ a dipendere da 5 variabili diverse? mi domando se non sia $RR^5$ ed un vettore del tipo $(x_1, x_2, x_3, x_3, x_5)$. se ancora mi dici che il testo è corretto ho finito le idee. non saprei come trattare il fatto di avere un vettore 5-dimensionale in un sottospazio con vettori di 4 dimensioni.
se comunque non riuscissi ad aiutarti con questo esercizio in particolare, su internet, ed anche qui sul forum, sono risolti una quantità inverosimile di esercizi di questo tipo. cerca per esempio "base sistema lineare ed omogeneo", oppure "base sottospazio", ecc...
se comunque non riuscissi ad aiutarti con questo esercizio in particolare, su internet, ed anche qui sul forum, sono risolti una quantità inverosimile di esercizi di questo tipo. cerca per esempio "base sistema lineare ed omogeneo", oppure "base sottospazio", ecc...
Ti ringrazio per il tempo che mi hai dedicato, sei stato molto gentile, cercherò io personalmente altri esempi di questo tipo.
Ho però un ultimo dubbio : Il primo sottospazio vettoriale $W_1={(0,0),(−1,1),(5,−5)}∈R^2$ appartiene a $R^2$ ma ha 3 vettori, è possibile ciò?
Ho però un ultimo dubbio : Il primo sottospazio vettoriale $W_1={(0,0),(−1,1),(5,−5)}∈R^2$ appartiene a $R^2$ ma ha 3 vettori, è possibile ciò?
il problema non è la quantità di vettori che compone il sottospazio ma la dimensione dei vettori. quell'insieme sicuramente non genererà tutto $RR^2$ ed infatti c'è un vettore che è combinazione lineare degli altri (lo zero).
Il primo non è un sottospazio vettoriale. Se due vettori $v$,$w$ appartengono al sottospazio, anche la loro somma $v+w$ dovrebbe appartenere al sottospazio.
E giusto per completezza, ogni spazio vettoriale $V$ di dimensione $k$ è isomorfo ad $RR^k$
E giusto per completezza, ogni spazio vettoriale $V$ di dimensione $k$ è isomorfo ad $RR^k$
"Ernesto01":
Il primo non è un sottospazio vettoriale. Se due vettori $v$,$w$ appartengono al sottospazio, anche la loro somma $v+w$ dovrebbe appartenere al sottospazio.
Cosa intendi? Se fai la somma di $v_1 (0,0) + v_2 (-1,1)$ ottengo ancora $v_2$
"Ernesto01":
Il primo non è un sottospazio vettoriale. Se due vettori $ v $,$ w $ appartengono al sottospazio, anche la loro somma $ v+w $ dovrebbe appartenere al sottospazio.
E giusto per completezza, ogni spazio vettoriale $ V $ di dimensione $ k $ è isomorfo ad $ RR^k $
in effetti ho detto una scemenza. devo aver pensato che fosse un sistema di generatori o devo non aver pensato affatto..
scusate l'errore.
non ho ben capito cosa c'entri nel discorso l'isomorfismo per dimensione però.
Quella notazione non ha tanto senso, forse volevi dire $v_1=(0,0)$ e $v_2=(-1,1)$. In quel caso hai ragione, ma prova con $v_3=(5,-5)$ e guarda se per caso $v_2+v_3$ sta ancora in $V$.
Oppuure sapendo che uno spazio vettoriale é chiuso per moltiplicazione di scalare, cioé se $v in V$ allora $lambdav in V$ per ogni $lambda in RR$. Prova a vedere se , per esempio, $13v_2$ appartiene a $V$.
Oppuure sapendo che uno spazio vettoriale é chiuso per moltiplicazione di scalare, cioé se $v in V$ allora $lambdav in V$ per ogni $lambda in RR$. Prova a vedere se , per esempio, $13v_2$ appartiene a $V$.
"Ernesto01":
Quella notazione non ha tanto senso, forse volevi dire $v_1=(0,0)$ e $v_2=(-1,1)$. In quel caso hai ragione, ma prova con $v_3=(5,-5)$ e guarda se per caso $v_2+v_3$ sta ancora in $V$.
Oppuure sapendo che uno spazio vettoriale é chiuso per moltiplicazione di scalare, cioé se $v in V$ allora $lambdav in V$ per ogni $lambda in RR$. Prova a vedere se , per esempio, $13v_2$ appartiene a $V$.
Ernesto puoi gentilmente rispondermi in PM? E'urgente
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