Isometria locale(geometria differenziale)
Ciao a tutti. Sono alle prese con un problema che chiede di mostrare che il piano e il cono dato dall'equazione :
$ x^2 + y^2= z^2 $ con z>0
sono localmente isometrici. Il problema mi chiede quindi di dimostrare che esiste un'isometria locale tra le due superfici.
Ora, ho seguito l'esempio dell'isometria tra piano e cilindro.
In quel caso si pone ad esempio : $ f(t,theta,0)=(costheta, sin theta, t) $
ed è facile mostrare che è isometria locale.
Il problema è che se svolgo la cosa allo stesso modo per il cono, ad es. ponendo :
$ phi(x,y)=(x,y,0) $ parametrizzazione del piano affine Oxy di R2 $ f(x,y,0)=(x,y,(x^2+y^2)^(1/2)) $
E considero la parametrizzazione del cono data dalla composizione delle due, f non è isometria...quindi devo cambiare qualcosa, ma non so come impostare il problema. Qualche suggerimento??Grazie!
$ x^2 + y^2= z^2 $ con z>0
sono localmente isometrici. Il problema mi chiede quindi di dimostrare che esiste un'isometria locale tra le due superfici.
Ora, ho seguito l'esempio dell'isometria tra piano e cilindro.
In quel caso si pone ad esempio : $ f(t,theta,0)=(costheta, sin theta, t) $
ed è facile mostrare che è isometria locale.
Il problema è che se svolgo la cosa allo stesso modo per il cono, ad es. ponendo :
$ phi(x,y)=(x,y,0) $ parametrizzazione del piano affine Oxy di R2 $ f(x,y,0)=(x,y,(x^2+y^2)^(1/2)) $
E considero la parametrizzazione del cono data dalla composizione delle due, f non è isometria...quindi devo cambiare qualcosa, ma non so come impostare il problema. Qualche suggerimento??Grazie!
Risposte
Sfruttando le simmetrie del cono, puoi osservare facilmente che:
-le sezioni orizzontali, cioè le circonferenze che si ottengono sezionando il cono con piani orizzontali, hanno curvatura costante e non nulla;
-le rette passanti per l'origine sono geodetiche, e sono perpendicolari alle sezioni orizzontali.
D'altra parte sappiamo che, nel piano, le curve con curvatura costante non nulla sono gli archi di circonferenze, e le geodetiche sono i segmenti.
Da qui sai concludere?
-le sezioni orizzontali, cioè le circonferenze che si ottengono sezionando il cono con piani orizzontali, hanno curvatura costante e non nulla;
-le rette passanti per l'origine sono geodetiche, e sono perpendicolari alle sezioni orizzontali.
D'altra parte sappiamo che, nel piano, le curve con curvatura costante non nulla sono gli archi di circonferenze, e le geodetiche sono i segmenti.
Da qui sai concludere?
Sistemo i dettagli, per onorarti della risposta precisa 
così mi dici anche se è corretto. Ti anticipo già che ho una domanda.
Allora:
posso considerare come parametrizzazione del piano, la funzione : $ phi(r,theta)=(rcostheta, rsintheta, 0) $
con $ phi: R xx (0,2pi)->R^3 $ parametrizzazione (globale) del piano =xy
A questo punto, considero la parametrizzazione
$ psi(r,theta)=(1/root(2)2rcosroot(2)2theta,1/root(2)2rsinroot(2)2theta,1/root(2)2r) $
definita come prima, che parametrizza il cono sopra indicato.
Ora, se f è la funzione da te indicata è chiaro che $ psi=f@ phi $
dunque il piano tangente a Oxy in p è generato dalle derivate parziali di $ phi $ , ovvero $ (costheta, sintheta, 0) e (-rsintheta,rcostheta,0) $
Il piano tangente al cono in f(p) è generato dalle derivate parziali di $ psi $ , ovvero $ (1/root(2)2cosroot(2)2theta, 1/root(2)2sinroot(2)2theta,1/root(2)2) e (-rsinroot(2)2theta,rcosroot(2)2theta, 0) $
Facendo i prodotti scalari si vede che la mappa è un'isometria, essendo uguali i prodotti scalari delle basi dei due spazi tra i quali la mappa f agisce. Questo passaggio dovrebbe funzionare perché il differenziale di $ psi $ rappresenta proprio il differenziale di f in p, e quindi le due derivate di $ psi $ non sono altro che le immagini della base del tangente, tramite dpF....
E' corretto?
La mia domanda è : il ragionamento che hai fatto sulla curvatura per trovare la mappa f come l'hai ottenuto?Intendo dire, si basa sull'intuizione, sull'osservazione della situazione...o c'è dietro un qualche teorema/procedimento?Ti chiedo questo perchè nel mio corso di geometria 2 ho visto ben pochi esercizi sulle isometrie e di geodetiche non se n'è mai parlato...e mi chiedevo se hai usato concetti o strumenti un filino più avanzati di quelli che conosco o semplicemente hai capito meglio la situazione. In ogni caso ti ringrazio.
così mi dici anche se è corretto. Ti anticipo già che ho una domanda.Allora:
posso considerare come parametrizzazione del piano, la funzione : $ phi(r,theta)=(rcostheta, rsintheta, 0) $
con $ phi: R xx (0,2pi)->R^3 $ parametrizzazione (globale) del piano =xy
A questo punto, considero la parametrizzazione
$ psi(r,theta)=(1/root(2)2rcosroot(2)2theta,1/root(2)2rsinroot(2)2theta,1/root(2)2r) $
definita come prima, che parametrizza il cono sopra indicato.
Ora, se f è la funzione da te indicata è chiaro che $ psi=f@ phi $
dunque il piano tangente a Oxy in p è generato dalle derivate parziali di $ phi $ , ovvero $ (costheta, sintheta, 0) e (-rsintheta,rcostheta,0) $
Il piano tangente al cono in f(p) è generato dalle derivate parziali di $ psi $ , ovvero $ (1/root(2)2cosroot(2)2theta, 1/root(2)2sinroot(2)2theta,1/root(2)2) e (-rsinroot(2)2theta,rcosroot(2)2theta, 0) $
Facendo i prodotti scalari si vede che la mappa è un'isometria, essendo uguali i prodotti scalari delle basi dei due spazi tra i quali la mappa f agisce. Questo passaggio dovrebbe funzionare perché il differenziale di $ psi $ rappresenta proprio il differenziale di f in p, e quindi le due derivate di $ psi $ non sono altro che le immagini della base del tangente, tramite dpF....
E' corretto?
La mia domanda è : il ragionamento che hai fatto sulla curvatura per trovare la mappa f come l'hai ottenuto?Intendo dire, si basa sull'intuizione, sull'osservazione della situazione...o c'è dietro un qualche teorema/procedimento?Ti chiedo questo perchè nel mio corso di geometria 2 ho visto ben pochi esercizi sulle isometrie e di geodetiche non se n'è mai parlato...e mi chiedevo se hai usato concetti o strumenti un filino più avanzati di quelli che conosco o semplicemente hai capito meglio la situazione. In ogni caso ti ringrazio.
Il procedimento che ho scritto usa la derivata covariante, che si può definire su una qualsiasi varietà dotata di una metrica (cioè un prodotto scalare su ogni spazio tangente) e si applica ai campi vettoriali lungo le curve. La definizione generale è un po' complicata, ma i casi che ci interessano sono particolarmente semplici: in $RR^2$ è la derivata classica, mentre nelle superfici immerse in $RR^3$ (con la metrica indotta) è la derivata classica in $RR^3$ proiettata sul piano tangente. A questo punto, data una curva $\gamma$ parametrizzata per lunghezza d'arco, la velocità $\gamma'$ è un campo vettoriale lungo $\gamma$, quindi lo è anche la derivata covariante $(D gamma')/dt$, la cui norma è per definizione la curvatura di $gamma$; in particolare, si dice che $gamma$ è una geodetica se $(Dgamma')/(dt) -= 0$.
Esempio: la sezione di raggio $r$ del cono è parametrizzata da $t \mapsto (r cos (t/r), r sin (t/r), r)$; la derivata della velocità è $(-1/r cos (t/r), -1/r sin (t/r), 0)$, la cui componente tangente al cono è $(-1/(2r) cos (t/r), -1/(2r) sin (t/r), -1/(2r))$, che ha norma $1/(r sqrt(2))$. Con un conto analogo si vede che la curvatura di una circonferenza in $RR^2$ è l'inverso del raggio.
Ora, il punto chiave è che le isometrie conservano le derivate covarianti (sostanzialmente perché dipendono solo dalla metrica), e in particolare conservano la curvatura, quindi hai tutto quello che ti serve per costruire l'isometria locale.
Se vuoi arrivarci usando tecniche meno avanzate non saprei dirti come fare, se non andando per intuito (ad esempio, pensando allo sviluppo del cono sul piano, che è un settore circolare, viene da pensare che l'isometria si scriva bene in coordinate polari, e in effetti è così).
Esempio: la sezione di raggio $r$ del cono è parametrizzata da $t \mapsto (r cos (t/r), r sin (t/r), r)$; la derivata della velocità è $(-1/r cos (t/r), -1/r sin (t/r), 0)$, la cui componente tangente al cono è $(-1/(2r) cos (t/r), -1/(2r) sin (t/r), -1/(2r))$, che ha norma $1/(r sqrt(2))$. Con un conto analogo si vede che la curvatura di una circonferenza in $RR^2$ è l'inverso del raggio.
Ora, il punto chiave è che le isometrie conservano le derivate covarianti (sostanzialmente perché dipendono solo dalla metrica), e in particolare conservano la curvatura, quindi hai tutto quello che ti serve per costruire l'isometria locale.
Se vuoi arrivarci usando tecniche meno avanzate non saprei dirti come fare, se non andando per intuito (ad esempio, pensando allo sviluppo del cono sul piano, che è un settore circolare, viene da pensare che l'isometria si scriva bene in coordinate polari, e in effetti è così).
Ti ringrazio per la risposta. Mi rimane un dubbio: esistono dei criteri per stabilire se due superfici sono localmente isometriche senza per forza dover esibire direttamente l'isometria?
Io so che se la curvatura gaussiana delle due superfici è diversa, queste non sono localmente isometriche, ma ovviamente il fatto che la superficie gaussiana coincida non mi garantisce l'esistenza dell'isometria. Che tu sappia, esistono delle condizioni sufficienti?
Sono alle prese con un esercizio che mi chiede di determinare per quali valori dei parametri reali a,b la superficie definita da :
$ S={(x,y,z):x-ay^2+bz^2=1} $
è isometrica al piano affine.
Per prima cosa ho calcolato la curvatura gaussiana, parametrizzando S come grafico, secondo la funzione qui sotto definita:
$ phi(y,z)=(1+ay^2-bz^2,y,z) $
Facendo i conti salta fuori che la curvatura di gauss è :
$ K(y,z)=(-4ab)/(1+4a^2y^2+4b^2z^2)^2 $ (sperando che i calcoli siano corretti)
A questo punto, posso dire che se i parametri sono entrambi non nulli, non può esistere l'isometria, essendo la curvatura del piano zero. Se entrambi sono nulli la superficie è un piano e ovviamente c'è l'isometria. Ma se ad es. a=0, b diverso da zero, non riesco a capire come stabilire se c'è o no un'isometria locale. Visto che il testo non mi chiede di scriverla esplicitamente ho pensato all'esistenza di qualche condizione necessaria/sufficiente a me ignota...che ne dici?
Io so che se la curvatura gaussiana delle due superfici è diversa, queste non sono localmente isometriche, ma ovviamente il fatto che la superficie gaussiana coincida non mi garantisce l'esistenza dell'isometria. Che tu sappia, esistono delle condizioni sufficienti?
Sono alle prese con un esercizio che mi chiede di determinare per quali valori dei parametri reali a,b la superficie definita da :
$ S={(x,y,z):x-ay^2+bz^2=1} $
è isometrica al piano affine.
Per prima cosa ho calcolato la curvatura gaussiana, parametrizzando S come grafico, secondo la funzione qui sotto definita:
$ phi(y,z)=(1+ay^2-bz^2,y,z) $
Facendo i conti salta fuori che la curvatura di gauss è :
$ K(y,z)=(-4ab)/(1+4a^2y^2+4b^2z^2)^2 $ (sperando che i calcoli siano corretti)
A questo punto, posso dire che se i parametri sono entrambi non nulli, non può esistere l'isometria, essendo la curvatura del piano zero. Se entrambi sono nulli la superficie è un piano e ovviamente c'è l'isometria. Ma se ad es. a=0, b diverso da zero, non riesco a capire come stabilire se c'è o no un'isometria locale. Visto che il testo non mi chiede di scriverla esplicitamente ho pensato all'esistenza di qualche condizione necessaria/sufficiente a me ignota...che ne dici?
Una cosa che si può dire è che se due superfici hanno curvatura costante e le due costanti sono uguali, allora sono localmente isometriche, quindi nel tuo caso $ab=0$ è anche una condizione sufficiente; puoi accorgertene anche osservando che, se uno dei due parametri è nullo, hai una superficie cilindrica (cioè esiste una retta $r$ tale che, se la superficie contiene un punto, allora contiene tutta la retta passante per tale punto e parallela a $r$), e una superficie di questo tipo è sempre piatta, per lo stesso motivo per cui lo è il cilindro classico.
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