Rango matrice (solo conferma)
Ciao a tutti, volevo solo una conferma sullo svolgimento di questo esercizio :
$A$ =$((h,0,1,h),(0,2,0,h^2+1),(1,0,h,0),(0,0,0,h))$
Data la seguente matrice, stabilire per quali valori di $h in RR$ ha rango 3, ha rango 2, ha rango 1
Il determinante della matrice $A$ si annulla per $h = 0$ e $h =+-1$
Per il rango 3 ho considerato la sottomatrice : $A'$ = $((h,0,1),(0,2,0),(1,0,h))$ , il cui determinante si annulla per $h = +-1$
Dunque trovo che la matrice $A$ ha rango 3 solo per $ h = 0$, mentre per nessun valore di $h$ ha rango 2 e 1 poichè :
Se prendo la sottomatrice di ordine 2 $A''$ = $((h,0),(0,2))$ il cui determinante si annulla per $h = 0$ e la orlo alla seguente matrice : $((h,0,h),(0,2,h^2+1),(0,0,h))$ , questo minore si annulla proprio per $ h = 0 $, dunque la matrice $A$ (sfruttando il teorema degli orlati) non può mai avere rango 2.
Analogamente per il rango 1 : se prendo il minore di ordine 1 $(1)$ e lo orlo alla matrice $((0,1),(2,0))$ questa ha determinante non nullo ($-2$)
E' giusto il procedimento?
$A$ =$((h,0,1,h),(0,2,0,h^2+1),(1,0,h,0),(0,0,0,h))$
Data la seguente matrice, stabilire per quali valori di $h in RR$ ha rango 3, ha rango 2, ha rango 1
Il determinante della matrice $A$ si annulla per $h = 0$ e $h =+-1$
Per il rango 3 ho considerato la sottomatrice : $A'$ = $((h,0,1),(0,2,0),(1,0,h))$ , il cui determinante si annulla per $h = +-1$
Dunque trovo che la matrice $A$ ha rango 3 solo per $ h = 0$, mentre per nessun valore di $h$ ha rango 2 e 1 poichè :
Se prendo la sottomatrice di ordine 2 $A''$ = $((h,0),(0,2))$ il cui determinante si annulla per $h = 0$ e la orlo alla seguente matrice : $((h,0,h),(0,2,h^2+1),(0,0,h))$ , questo minore si annulla proprio per $ h = 0 $, dunque la matrice $A$ (sfruttando il teorema degli orlati) non può mai avere rango 2.
Analogamente per il rango 1 : se prendo il minore di ordine 1 $(1)$ e lo orlo alla matrice $((0,1),(2,0))$ questa ha determinante non nullo ($-2$)
E' giusto il procedimento?
Risposte
Ma non fai prima a sostituire $h$ con i valori che hai trovato? Tra l'altro a me vengono tutte e tre di rango $3$ ...
Ho controllato anche io, però potresti spiegarmi perchè?
La sottomatrice $((h,0,1),(0,2,0),(1,0,h))$ ha determinante diverso da 0 quando $h$ è diverso da $+-1$
Orlandola alla matrice $4x4$ iniziale vediamo che questa si annulla per $h = 0$ e $h= +-1$ ma la soluzione $+-1$ quindi dovrebbe essere scartata..
La sottomatrice $((h,0,1),(0,2,0),(1,0,h))$ ha determinante diverso da 0 quando $h$ è diverso da $+-1$
Orlandola alla matrice $4x4$ iniziale vediamo che questa si annulla per $h = 0$ e $h= +-1$ ma la soluzione $+-1$ quindi dovrebbe essere scartata..
Premesso che non mi intendo di orli e do per scontato che il tuo calcolo del determinante sia corretto, il rango di quella matrice è $r=4$ per tutti i valori di $h$ diversi da quei tre, ok?
Altresì premesso che a parer mio il metodo più veloce per trovare il rango di matrici come queste è quello di sostituire ad $h$ i valori trovati (un paio di minuti ed hai fatto tutto), ora se le tue conclusioni fossero corrette significa che il rango di quella matrice quando $h=+-1$ è nullo! No rango $1$ né rango $2$, rango $3$ solo per $h=0$ e rango $4$ per tutti gli altri valori ...
Evidentemente c'è qualcosa che non va ...
Cordialmente, Alex
Altresì premesso che a parer mio il metodo più veloce per trovare il rango di matrici come queste è quello di sostituire ad $h$ i valori trovati (un paio di minuti ed hai fatto tutto), ora se le tue conclusioni fossero corrette significa che il rango di quella matrice quando $h=+-1$ è nullo! No rango $1$ né rango $2$, rango $3$ solo per $h=0$ e rango $4$ per tutti gli altri valori ...
Evidentemente c'è qualcosa che non va ...
Cordialmente, Alex
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