Spazi $QQ$-metrici
Un mio amico mi ha posto una domanda interessante a cui non avevo mi pensato: perché la definizione degli spazi metrici si da su $RR$? Non si potrebbe, per esempio, definire su $QQ$? Nel senso che al posto di $RR^+$ ci si potrebbe mettere $QQ^+$, le definizioni continuerebbero ad avere senso, mi pare.
C'è qualcosa che fa sì che non sia una buona idea? Io ho pensato che magari c'entrava qualcosa la completezza, ma non mi è venuto in mente nessun punto della teoria degli spazi metrici in cui si usa la completezza di $RR$ in questo modo.
C'è qualcosa che fa sì che non sia una buona idea? Io ho pensato che magari c'entrava qualcosa la completezza, ma non mi è venuto in mente nessun punto della teoria degli spazi metrici in cui si usa la completezza di $RR$ in questo modo.
Risposte
La metrica euclidea su $RR^n$ non avrebbe più senso, penso.
Per esempio usando la metrica euclidea di $RR^2$ posto $x=(1,1),y=(0,0)$
$d(x,y)=sqrt2$ non troverebbe posto in $QQ$
Per esempio usando la metrica euclidea di $RR^2$ posto $x=(1,1),y=(0,0)$
$d(x,y)=sqrt2$ non troverebbe posto in $QQ$
Alcune ragioni sparse per cui $RR$ è una buona scelta potrebbero essere
1. La completezza di $RR$ contro la non-completezza di $QQ$. E' utile per ragioni di convergenza avere la possibilità di trattare la funzione $X\times X\to RR$ che definisce la metrica come continua, e $QQ$ non ha molte buone proprietà in questo senso (molte strutture metriche nascono a partire da spazi normati, ed è usuale considerare spazi vettoriali su $RR$, molto meno su $QQ$ --dipende da cosa uno fa...).
1.1 Considerare metriche a valori reali non è una grossa restrizione, è semmai una restrizione sciocca limitarsi a coefficienti razionali: prendi uno spazio vettoriale su un qualsiasi campo di caratteristica positiva, e la metrica indotta dal prodotto scalare euclideo \((x,y)\mapsto \sqrt{\sum (x_i -y_i)^2}\); allora questo spazio vettoriale è anche uno spazio vettoriale su $QQ$ ($QQ$ è un sottocampo di tutti quelli di caratteristica zero); puoi considerare, all'interno di questo spazio $V$, il sottospazio $V_{QQ}$ di quei vettori che hanno coordinate razionali. Ora, però, è praticamente impossibile non uscire da $V_{QQ}$ mediante la metrica, perché per esempio la distanza dall'origine a $(1,1)$ è $sqrt{2}$ che ops, non è un elemento di $QQ$. E' sciocco e controintuitivo dire "la distanza tra questi due punti è un numero che posso calcolare ma non posso esprimere nel mio sistema di coefficienti"
2. $RR$ ha una proprietà universale: è l'unico campo totalmente ordinato e completo a meno di isomorfismo; questo completa il punto precedente in quanto non c'è altra maniera di conservare le proprietà che ti servono a dire "spazio metrico": ti serve un campo totalmente ordinato, perché vuoi sommare le distanze ed enunciare la disuguaglianza triangolare. Ti serve che sia completo, per il punto precedente.
3. Ci sono motivi più strutturali. Uno spazio metrico (generalizzato) ha una caratterizzazione piuttosto intrinseca in termini di categoria arricchita su $[0,\infty]$ (che è monoidale rispetto alla somma di numeri reali). E' un po' complicato giustificare il motivo per cui non usi, invece, $[0,\infty]\cap QQ$, ma si può fare (è ancora un argomento di completezza secondo Cauchy).
1. La completezza di $RR$ contro la non-completezza di $QQ$. E' utile per ragioni di convergenza avere la possibilità di trattare la funzione $X\times X\to RR$ che definisce la metrica come continua, e $QQ$ non ha molte buone proprietà in questo senso (molte strutture metriche nascono a partire da spazi normati, ed è usuale considerare spazi vettoriali su $RR$, molto meno su $QQ$ --dipende da cosa uno fa...).
1.1 Considerare metriche a valori reali non è una grossa restrizione, è semmai una restrizione sciocca limitarsi a coefficienti razionali: prendi uno spazio vettoriale su un qualsiasi campo di caratteristica positiva, e la metrica indotta dal prodotto scalare euclideo \((x,y)\mapsto \sqrt{\sum (x_i -y_i)^2}\); allora questo spazio vettoriale è anche uno spazio vettoriale su $QQ$ ($QQ$ è un sottocampo di tutti quelli di caratteristica zero); puoi considerare, all'interno di questo spazio $V$, il sottospazio $V_{QQ}$ di quei vettori che hanno coordinate razionali. Ora, però, è praticamente impossibile non uscire da $V_{QQ}$ mediante la metrica, perché per esempio la distanza dall'origine a $(1,1)$ è $sqrt{2}$ che ops, non è un elemento di $QQ$. E' sciocco e controintuitivo dire "la distanza tra questi due punti è un numero che posso calcolare ma non posso esprimere nel mio sistema di coefficienti"
2. $RR$ ha una proprietà universale: è l'unico campo totalmente ordinato e completo a meno di isomorfismo; questo completa il punto precedente in quanto non c'è altra maniera di conservare le proprietà che ti servono a dire "spazio metrico": ti serve un campo totalmente ordinato, perché vuoi sommare le distanze ed enunciare la disuguaglianza triangolare. Ti serve che sia completo, per il punto precedente.
3. Ci sono motivi più strutturali. Uno spazio metrico (generalizzato) ha una caratterizzazione piuttosto intrinseca in termini di categoria arricchita su $[0,\infty]$ (che è monoidale rispetto alla somma di numeri reali). E' un po' complicato giustificare il motivo per cui non usi, invece, $[0,\infty]\cap QQ$, ma si può fare (è ancora un argomento di completezza secondo Cauchy).
Eh si lo so, ma questo vuol dire semplicemente che $RR^2$ non sarebbe $QQ$-metrizzabile, ma questa non è necessariamente una cattiva cosa.
EDIT: Ovviamente questa era una risposta per anto_zoolander, ora mi leggo la risposta di killing_buddha e cerco di capirla...
EDIT: Ovviamente questa era una risposta per anto_zoolander, ora mi leggo la risposta di killing_buddha e cerco di capirla...
Dato un campo ordinato[nota]Ovvero un campo, su cui sia definita una relazione d'ordine compatibile con le sue operazioni; leggi qui.[/nota] \(\displaystyle\mathbb{K}\), si dimostra che questi è un campo di caratteristica \(\displaystyle0\), ed ha perfettamente senso considerare gli spazi \(\displaystyle\mathbb{K}\)-metrici[nota]Inclusi gli spazi \(\displaystyle\mathbb{Q}\)-metrici.[/nota]; ovvero insiemi \(\displaystyle X\) su cui definisci una funzione \(\displaystyle d:X\times X\to\mathbb{K}_{\geq0}\) che soddisfi le proprietà di metrica.
...e poi? Puoi definire le successioni di Cauchy in \(\displaystyle(X,d)\) e completarlo a la Cauchy; ma per far questo devi completare a la Cauchy \(\displaystyle\mathbb{K}\) ottenendo il suo completamento a la Cauchy[nota]Esempio: \(\displaystyle\mathbb{R}\) è il completamento a la Cauchy di \(\displaystyle\mathbb{Q}\).[/nota]! Supposto che \(\displaystyle\mathbb{K}\) sia completo in tal senso; non è detto che abbia senso definire:
\[
\forall Y\subsetneqq X,\,x\in X\setminus Y,\,d(x,Y)=\inf_{y\in Y}d(x,y)
\]
poiché \(\displaystyle\mathbb{K}\) non è detto che sia completo come (campo) ordinato; e se lo fosse sarebbe, a meno di isomorfismi, \(\displaystyle\mathbb{R}\).
Non mi vengono in mente altre difficoltà nell'usare gli spazi \(\displaystyle\mathbb{K}\)-metrici...
...e poi? Puoi definire le successioni di Cauchy in \(\displaystyle(X,d)\) e completarlo a la Cauchy; ma per far questo devi completare a la Cauchy \(\displaystyle\mathbb{K}\) ottenendo il suo completamento a la Cauchy[nota]Esempio: \(\displaystyle\mathbb{R}\) è il completamento a la Cauchy di \(\displaystyle\mathbb{Q}\).[/nota]! Supposto che \(\displaystyle\mathbb{K}\) sia completo in tal senso; non è detto che abbia senso definire:
\[
\forall Y\subsetneqq X,\,x\in X\setminus Y,\,d(x,Y)=\inf_{y\in Y}d(x,y)
\]
poiché \(\displaystyle\mathbb{K}\) non è detto che sia completo come (campo) ordinato; e se lo fosse sarebbe, a meno di isomorfismi, \(\displaystyle\mathbb{R}\).
Non mi vengono in mente altre difficoltà nell'usare gli spazi \(\displaystyle\mathbb{K}\)-metrici...
"j18eos":
non è detto che abbia senso definire:
\[
\forall Y\subsetneqq X,\,x\in X\setminus Y,\,d(x,Y)=\inf_{y\in Y}d(x,y)
\]
Certo, questo è un motivo molto evidente.
Che si dovesse considerare un campo ordinato ci ero arrivato anche io, e che la completezza sia una proprietà buona da avere sono d'accordo, ma volevo sapere se ci sono motivi più precisi e specifici per cui richiederla, a il post di j18eos mi ha chiarito decisamente le idee (non avevo pensato alla distanza tra un insieme e un punto).
Il punto 3 della prima risposta di killing_buddha non l'ho capito, ma vabbè.
Il punto 3 della prima risposta di killing_buddha non l'ho capito, ma vabbè.
Secondo me, assunto che puoi considerare la chiusura convessa di un insieme in ogni spazio \(\displaystyle\mathbb{K}\)-metrico \(\displaystyle(X,d)\), i "soliti teoremi" non è detto che valgano...
Come si definisce la chiusura convessa in uno spazio $\mathbb{K}$-metrico?
Ah scusa, intendevo uno spazio vettoriale \(\displaystyle\mathbb{K}\)-metrico...
Ah ok, ho capito, ma in tal caso cosa intendevi con "i soliti teoremi"?
Per esempio il Supporting Hyperplane theorem e il Hyperplane Separation Theorem, non è detto che siano estendibili agli insiemi convessi in \(\displaystyle\mathbb{K}\)-spazi vettoriali metrici; con \(\displaystyle\mathbb{K}\) campo ordinato, e pure completo a la Cauchy.
Grazie mille!
Mi è venuto in mente che in realtà non c'è proprio bisogno di considerare un campo ordinato, sarebbe sufficiente un semigruppo ordinato abeliano e completo ( a meno che non mi stia sfuggendo qualcosa non si usano proprietà di $RR$ che non si possano avere a disposizione in un semigruppo ordinato, abeliano e completo).
Quindi questo vuol dire che c'è più libertà di quanto sembra nella definizione di spazio metrico?
Quindi questo vuol dire che c'è più libertà di quanto sembra nella definizione di spazio metrico?
Ti serve un monoide, per dire che $d(x,x) = 0$.
Ah già...
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