Dimostrazione su basi e applicazioni lineari

[Whitman1]

Buongiorno, sono alle prese con un'altra dimostrazione in preparazione del primo parziale di Geometria e, nonostante sia riuscito - probabilmente - in dimostrazioni più complesse, non mi è chiaro come si debba lavorare su quelle di questo tipo:

Sia \(V\) uno spazio vettoriale di dimensione finita \(n\) su $bbbK$.

$1.$ Se ${$\(v_1, v_2, ..., v_n \)$}$ è una base di $V$, denotiamo \(v_0 = v_1+v_2+...+v_n\). Siano \(\lambda_0, \lambda_1, ..., \lambda_n\)$in bbbK$ e sia $F : V \to V$ un'applicazione lineare tale che \(F(v_0) = \lambda_0 v_0, F(v_1) = \lambda_1 v_1, ..., F(v_n) = \lambda_n v_n\).
Dimostrare che \(\lambda_0 = \lambda_1 = ... = \lambda_n\).

$2.$ Sia $G : V \to V$ lineare e tale che $F(L) sube L$ per ogni sottospazio $L$ di dimensione $1$ di $V$. Dimostrare che $F$ è un multiplo dell'identità (cioè che esiste $k in bbbK$ tale che \(F = kI_n\)).

Grazie in anticipo se aveste voglia di farmelo capire

[killing_buddha]

1. \(\sum (\lambda_0-\lambda_i)v_i=0\), e ora \(\{v_i\}\) è una base.

2. Discende da 1 perché una tale $F$ ha la proprietà dela $F$ del punto 1.

[Whitman1]

Grazie mille! Alla risoluzione del primo punto ci sono arrivato qualche ora dopo aver scritto il post e mi fa piacere che la stia trovando confermata. L'ho scritta esplicitamente e non con sommatorie, ma la sostanza non cambia.