Determinare l'immagine di un applicazione lineare

[lepre561]

Vi propongo lo svolgimento di questo esercizio e poi vi dico il mio dubbio:

Sia $ f: RR^4 rarr RR^3$ definita da $f(x_1,x_2,x_3,x_4)=(x_1-x_2, 2x_1-x_2+x_4,-x_1+x_2+x_4)$.

Sia $w inIm(f)$, allora $w=(a_1,a_2,a_3)$.

A questo punto io ho creato il sistema lineare associato:


$\{(x_1-x_2=a_1),(2x_1-x_2+x_4=a_2),(-x_1+x_2+x_4=a_3):}$

da cui ho ricavato che $a_2=a_1+x_1+x_4$ e $a_3=-a_1+x_4$ per cui detti $x_1=b_1 e x_4=b_2, w={(a_1,a_1+b_1+b_2,-a_1+b_2) : a_1,b_1,b_2 in RR}$

ora la mia domanda è come determino l'immagine di $f$ ???

Il libro mi da come soluzione $<(1,1,1),(0,1,0),(0,1,1)>$ Per ottenre questi valori cosa devo fare con che numeri devo sostituire $a_1,b_1,b_2$???

Grazie

[ìawa vuole l'accento]

Forse ho sbagliato i calcoli di fretta, ma sicuro il primo non sia (-1,0,1)?

[lepre561]

"ìawa vuole l'accento":Forse ho sbagliato i calcoli di fretta, ma sicuro il primo non sia (-1,0,1)?

così è riportato sul libro.

in ogni caso come si determinano??

[anto_zoolander]

Poni una base in entrata $B={e_j}_(j inI_4)$
Dovrebbe esserti noto che essendo $f in Hom(RR^4,RR^3)$ si avrà $im(f)= < f(e_1),f(e_2),f(e_3),f(e_4)>$

[lepre561]

"anto_zoolander":Poni una base in entrata $B={e_j}_(j inI_4)$
Dovrebbe esserti noto che essendo $f in Hom(RR^4,RR^3)$ si avrà $im(f)= < f(e_1),f(e_2),f(e_3),f(e_4)>$

potresti spiegarmelo in maniera più pratica???

[anto_zoolander]

L’immagine di una applicazione lineare è generata dall’immagine dei vettori della base dello spazio in ingresso.

• $L:V->W$ applicazione lineare
• $B={v_1,..,v_n}$ base di $V$
• $< f(v_1),..,f(v_n)> = im(f)$

Non c’è chissà quale magia dietro, ma è una delle prime cose che si fa.

[lepre561]

"anto_zoolander":L’immagine di una applicazione lineare è generata dall’immagine dei vettori della base dello spazio in ingresso.

• $L:V->W$ applicazione lineare
• $B={v_1,..,v_n}$ base di $V$
• $< f(v_1),..,f(v_n)> = im(f)$

Non c’è chissà quale magia dietro, ma è una delle prime cose che si fa.

si...ok
questo a livello teorica ma praticamente perchè mi vengono questi vettori $ <(1,1,1),(0,1,0),(0,1,1)> $ come li ottengo???

[anto_zoolander]

Perché secondo me sei stato pedante.
$im(f)={w in RR^3|existsv inRR^4:f(v)=w}$

Ovvero posto $w=(a,b,c)$ si ha $(x_1-x_2,2x_1-x_2+x_4,-x_1+x_2+x_4)=(a,b,c)$

Quindi $im(f)={(x_1-x_2,2x_1-x_2+x_4,-x_1+x_2+x_4)in RR^3:x_j inRR}$

Poi puoi chiamarli come vuoi tipo

$im(f)={(x-y,2x-y+z,-x+y+z) inRR^3:x,y,z inRR}= <(1,2,-1),(-1,-1,1),(0,1,1)>$

Il problema è che tu non ti sei ricavato un vettore dell’immagine, bensì uno della fibra.
Quello che hai fatto tu è stato scrivere un vettore del dominio.

Ricordando che la fibra di un elemento è $f^(leftarrow)({w})={v in V:f(v) in {w}}$ con $w inW$ e tu ti sei proprio trovato l’insieme di quei vettori del dominio che vengono mandati in un generico vettore $(a,b,c)$
Quindi hai fatto il contrario

[lepre561]

"anto_zoolander":Perché secondo me sei stato pedante.
$im(f)={w in RR^3|existsv inRR^4:f(v)=w}$

Ovvero posto $w=(a,b,c)$ si ha $(x_1-x_2,2x_1-x_2+x_4,-x_1+x_2+x_4)=(a,b,c)$

Quindi $im(f)={(x_1-x_2,2x_1-x_2+x_4,-x_1+x_2+x_4)in RR^3:x_j inRR}$

Poi puoi chiamarli come vuoi tipo

$im(f)={(x-y,2x-y+z,-x+y+z) inRR^3:x,y,z inRR}= <(1,2,-1),(-1,-1,1),(0,1,1)>$

Il problema è che tu non ti sei ricavato un vettore dell’immagine, bensì uno della fibra.
Quello che hai fatto tu è stato scrivere un vettore del dominio.

Ricordando che la fibra di un elemento è $f^(leftarrow)({w})={v in V:f(v) in {w}}$ con $w inW$ e tu ti sei proprio trovato l’insieme di quei vettori del dominio che vengono mandati in un generico vettore $(a,b,c)$
Quindi hai fatto il contrario

ma quindi non ti trovi con la soluzione del libro???