Teorema di nullità più rango
Scusate se posto due domande vicine cronologicamente parlando. Però so che è meglio aprire due post piuttosto che scrivere due argomenti diversi in un unico.
Mi duole tediarvi, ma mi piacerebbe capire a fondo questo teorema.
Mi è stato presentato a lezione in due forme, che trovo anche espresse su Wikipedia: "Il teorema afferma che la somma tra la dimensione dell'immagine e la dimensione del nucleo di una trasformazione lineare è uguale alla dimensione del dominio. In modo equivalente, la somma del rango e della nullità di una matrice è uguale al numero di colonne della matrice"
Tuttavia queste due formulazioni mi sono state proposte e dimostrate in tempi diversi a lezione e con due dimostrazioni differenti a cui non riesco a dare formulazione unica, in sostanza non riesco intuitivamente a vedere perché siano la stessa cosa (due facce della stessa medaglia).
Grazie di nuovo.
Ne approfitto per augurarvi buon week-end
Mi duole tediarvi, ma mi piacerebbe capire a fondo questo teorema.
Mi è stato presentato a lezione in due forme, che trovo anche espresse su Wikipedia: "Il teorema afferma che la somma tra la dimensione dell'immagine e la dimensione del nucleo di una trasformazione lineare è uguale alla dimensione del dominio. In modo equivalente, la somma del rango e della nullità di una matrice è uguale al numero di colonne della matrice"
Tuttavia queste due formulazioni mi sono state proposte e dimostrate in tempi diversi a lezione e con due dimostrazioni differenti a cui non riesco a dare formulazione unica, in sostanza non riesco intuitivamente a vedere perché siano la stessa cosa (due facce della stessa medaglia).
Grazie di nuovo.
Ne approfitto per augurarvi buon week-end
Risposte
Avevo letto ma non avevo ben compreso. In sostanza lo vedo perché posso scrivere ogni applicazione come una matrice?
Però le due dimostrazioni per matrici e applicazioni sono così diverse che ad occhio non riesco proprio a farle combaciare... parlavo più a livello intuitivo se qualcuno poteva illuminarmi
Però le due dimostrazioni per matrici e applicazioni sono così diverse che ad occhio non riesco proprio a farle combaciare... parlavo più a livello intuitivo se qualcuno poteva illuminarmi
ad ogni applicazione è associata una matrice. chiamiamo questa matrice A. le colonne delle matrice rappresentativa costituiscono un insieme di generatori per l'immagine. dunque il rango della matrice rappresentativa corrisponde alla dimensione dell'immagine.
la nullità in pratica è la dimensione del ker (per definizione).
il numero delle colonne della matrice invece è data dal dominio, quindi è la dimensione del dominio.
metti insieme le tre definizioni e ritrovi esattamente la forma "consueta" del teorema.
la nullità in pratica è la dimensione del ker (per definizione).
il numero delle colonne della matrice invece è data dal dominio, quindi è la dimensione del dominio.
metti insieme le tre definizioni e ritrovi esattamente la forma "consueta" del teorema.
Grazie
Mi rimangono due puti critici:
-le colonne delle matrice rappresentativa costituiscono un insieme di generatori per l'immagine. dunque il rango della matrice rappresentativa corrisponde alla dimensione dell'immagine....
Mhh è vero, però quei generatori (colonne) non sono generatori per l'immagine ma per le componenti dell'immagine rispetto a una base decisa. Nel senso, chi mi dice la dimensione dello spazio delle componenti così ottenuto sia sempre la stessa per ogni matrice associata a diverse basi ma soprattutto presi due generatori per lo spazio delle componenti perché sono generatori dello spazio immagine sicuramente?
-Il secondo punto che mi sfugge è perché la nullità sia la dimensione del kernel, cioè perché la dimensione dell'insieme degli elementi che vengono mandati a zero siano proprio la dimensione del sottospazio insieme soluzione di un sistema
Grazie per l'aiuto, mi è molto importante!!
Mi rimangono due puti critici:
-le colonne delle matrice rappresentativa costituiscono un insieme di generatori per l'immagine. dunque il rango della matrice rappresentativa corrisponde alla dimensione dell'immagine....
Mhh è vero, però quei generatori (colonne) non sono generatori per l'immagine ma per le componenti dell'immagine rispetto a una base decisa. Nel senso, chi mi dice la dimensione dello spazio delle componenti così ottenuto sia sempre la stessa per ogni matrice associata a diverse basi ma soprattutto presi due generatori per lo spazio delle componenti perché sono generatori dello spazio immagine sicuramente?
-Il secondo punto che mi sfugge è perché la nullità sia la dimensione del kernel, cioè perché la dimensione dell'insieme degli elementi che vengono mandati a zero siano proprio la dimensione del sottospazio insieme soluzione di un sistema
Grazie per l'aiuto, mi è molto importante!!
scusami ma faccio veramente fatica a capire i tuoi dubbi. 
potresti rispiegarmi?
potresti rispiegarmi?
Certo, anzi perdonami la poca chiarezza ma in modo scritto è difficile . Veramente ti ringrazio molto per la pazienza perché se riesco a capire questo dubbio mi rendi davvero felice, odio non capire XD
Sostanzialmente il mio dubbio fondamentale è questo: so che la matrice associata ad una applicazione lineare "trasforma" delle coordinate in "nuove" coordinate. Non in vettori dell'immagine, solo trasforma nelle coordinate della mia immagine rispetto alla base a cui faccio riferimento. Quindi mi torna, come dicevi tu che le colonne della matrice possano essere interpretate come generatori di uno spazio (moltiplicazione riga per colonna classica), il problema è che creano uno sottospazio, però è un sottospazio delle componenti, non capisco perché invece scelte le colonne di una matrice associata a uno trasformazione (qualunque siano le basi scelte) esse saranno sicuramente generatori dell'immagine (praticamente questo è quello che dicevi tu, ma che vedo anche su Wikipedia e su alcuni esercizi che ieri ho fatto già svolti)
Quelle colonne (moltiplicate per componenti) mi generano nuove componenti e non vettori, insomma proprio non capisco questa cosa.
Il secondo dubbio lo affrontiamo dopo questo, perché capire questo sarei già molto contento
. Veramente ti ringrazio molto per la pazienza perché se riesco a capire questo dubbio mi rendi davvero felice, odio non capire XDSostanzialmente il mio dubbio fondamentale è questo: so che la matrice associata ad una applicazione lineare "trasforma" delle coordinate in "nuove" coordinate. Non in vettori dell'immagine, solo trasforma nelle coordinate della mia immagine rispetto alla base a cui faccio riferimento. Quindi mi torna, come dicevi tu che le colonne della matrice possano essere interpretate come generatori di uno spazio (moltiplicazione riga per colonna classica), il problema è che creano uno sottospazio, però è un sottospazio delle componenti, non capisco perché invece scelte le colonne di una matrice associata a uno trasformazione (qualunque siano le basi scelte) esse saranno sicuramente generatori dell'immagine (praticamente questo è quello che dicevi tu, ma che vedo anche su Wikipedia e su alcuni esercizi che ieri ho fatto già svolti)
Quelle colonne (moltiplicate per componenti) mi generano nuove componenti e non vettori, insomma proprio non capisco questa cosa.
Il secondo dubbio lo affrontiamo dopo questo, perché capire questo sarei già molto contento
Però quello dimostra "solo" che ogni elemento del codominio si può scrivere come una combinazione delle basi del dominio mandate tramite l'omomorfismo nel codominio, in altre parole che le immagini di elementi di una base del dominio sono un sistema di generatori per il sottospazio immagine e mi trovo totalmente d'accordo.
Quello che mi fa storcere il naso è che la matrice rappresentativa, una volta applicata alle componenti di un vettore del dominio, non mi dà i vettori, mi dà le componenti dei vettori! Da questo deduco che le colonne della matrice associata sono un generatore dello spazio componenti rispetto a una base dello spazio immagine e non dello spazio immagine in sé.
Quello che mi fa storcere il naso è che la matrice rappresentativa, una volta applicata alle componenti di un vettore del dominio, non mi dà i vettori, mi dà le componenti dei vettori! Da questo deduco che le colonne della matrice associata sono un generatore dello spazio componenti rispetto a una base dello spazio immagine e non dello spazio immagine in sé.
hai male interpretato il mio intervento mi sa: poichè le colonne della matrice rappresentativa sono un sistema dei generatori per la base da questa estraine una base calcolando il rango (ovvero prendendo solo le colonne che sono l.i.). in questo modo ottieni il numero di colonne (e quindi di vettori) che formano la base dell'immagine e per definizione di dimensione, hai la dimensione del sottospazio immagine.
Ci stiamo avvicinando, perché il fatto è che non riesco a comprendere il motivo per cui le colonne delle matrice rappresentativa costituiscono un insieme di generatori per l'immagine. Anche nel sito che mi hai linkato scrive: "l'immagine di un'applicazione lineare coincide con il sottospazio generato dalle colonne della matrice rappresentativa- non importa rispetto a quali basi essa sia riferita. Le colonne della matrice costituiscono un sistema di generatori per Imf.
E' questo punto che proprio non mi va giù: le colonne sono le componenti della base, non sono i vettori della base, quindi se da una ipotetica matrice associata al cambiamento di base scegliessi le sue colonne esse non possono generarmi il sottospazio di Imagine di f in generale, perché sono le componenti della base di Imf.
E' questo punto che proprio non mi va giù: le colonne sono le componenti della base, non sono i vettori della base, quindi se da una ipotetica matrice associata al cambiamento di base scegliessi le sue colonne esse non possono generarmi il sottospazio di Imagine di f in generale, perché sono le componenti della base di Imf.
"ìawa vuole l'accento":
non riesco a comprendere il motivo per cui le colonne delle matrice rappresentativa costituiscono un insieme di generatori per l'immagine.
Considera l'applicazione $L_A: RR^3 -> RR^2$
$L_A (v):= Av=( ( 1 , 2 , 3) ,( 4,5,6 )) v, qquad v in RR^3$
Se ai vettori $e_1,e_2,e_3$ applico l'operatore $L_A$ si ottiene
$L_A(e_1)=( ( 1 , 2 ,3),( 4, 5,6 )) ((1),(0),(0))=( ( 1) , (4) )$
$L_A(e_2)=( ( 1 , 2 ,3) ,( 4,5,6 )) ((0),(1),(0))=( ( 2) , (5 ))$
$L_A(e_3)=( ( 1 , 2 ,3) ,( 4,5,6 )) ((0),(0),(1))=( ( 3) , (6 ))$
$L_A(e_2)=( ( 1 , 2 ,3) ,( 4,5,6 )) ((0),(1),(0))=( ( 2) , (5 ))$
$L_A(e_3)=( ( 1 , 2 ,3) ,( 4,5,6 )) ((0),(0),(1))=( ( 3) , (6 ))$
dunque questi vettori $( ( 1) , (4) ), ( ( 2) , (5 )),( ( 3) , (6 )) in Im(L_A)$. Ovviamente tali vettori ottenuti non possono essere tutti l.i.[nota]Il $r(A)<=min(2,3)$[/nota], però generano l'immagine dell'applicazione in considerazione.
Essendo $r(A)=2 rArr dim(Im(L_A))=2$, si ha che l'insieme ${( ( 1) , (4) ), ( ( 2) , (5 ))}$ è una base[nota]L'indipendenza è garantita dal fatto che sono solamente due vettori e non proporzionali.[/nota] per l'$Im(L_A)$.
Per cui preso un generico vettore $((a),(b),(c)) in RR^3$,
$L_A(((a),(b),(c)))=((a+2b+3c),(4a+5b+6c))=a( ( 1) , (4) )+b( ( 2) , (5 ))+c((3),(6))$
$=a( ( 1) , (4) )+b( ( 2) , (5 ))+c[-1( ( 1) , (4) )+2 ( ( 2) , (5 ))]$
$= (a-c) ((1),(4))+ (b+2c)((2),(5)), qquad AA abc, in RR $
$= (a-c) ((1),(4))+ (b+2c)((2),(5)), qquad AA abc, in RR $
Da questo esempio pratico penso sia evidente il fatto che i vettori contenuti nell'immagine siano combinazioni lineari delle colonne della matrice rappresentativa.
"ìawa vuole l'accento":
E' questo punto che proprio non mi va giù: le colonne sono le componenti della base, non sono i vettori della base, quindi se da una ipotetica matrice associata al cambiamento di base scegliessi le sue colonne esse non possono generarmi il sottospazio di Imagine di f in generale, perché sono le componenti della base di Imf.
Le componenti sono relative alla base adottata; è chiaro che cambiando base cambia la matrice rappresentativa, ma la definizione dello spazio resta invariata.
Ti ringrazio magma, proverò a risponderti anche io con un esempio per farti capire quale parte non mi torna:
Si abbia l'applicazione lineare seguente $L_A(x,y,z)=(x+y,z)$
Cerco la matrice associata a questa applicazione lineare rispetto alle due basi seguenti
$B={(1,0,1),(1,0,0),(1,1,1)}$ di $R^3$ che chiamo ${(v_1,v_2,v_3)}$
$C={(0,1),(1,1)}$ di $R^2$ che chiamo ${w_1,w_2}$
Nella matrice associata a questa applicazione lineare che va da B a C nelle colonne vanno scritte le componenti delle immagini dei vettori della base di B, riferiti alla nuova base C, ovvero.
Trovo prima i vettori
$L_A(v_1)=L_A(1,0,1)=(1,1)$
$L_A(v_2)=L_A(1,0,0)=(1,0)$
$L_A(v_1)=L_A(1,1,1)=(2,1)$
Scrivo come combinazione dei vettori nella base C:
$L_A(v_1)=L_A(1,0,1)=(1,1)=0*(0,1)+1*(1,1)$
$L_A(v_2)=L_A(1,0,0)=(1,0)=-1*(0,1)+1*(1,1)$
$L_A(v_1)=L_A(1,1,1)=(2,1)=-1*(0,1)+2*(1,1)$
La matrice associata sarà quindi (rispetto alle basi B e C):
$((0,-1,-1),(1,1,2))$
A questo punto se io prendessi i vettori che avevi chiamato $e_1,e_2,e_3$ vediamo cosa succederebbe:
$e_1=((1),(0),(0))$ scritto rispetto a B avrebbe componenti: (0,1,0) in quanto $e_1=v_2$, cioè: $e_1=((1),(0),(0))=0*((1),(0),(1))+1*((1),(0),(0))+0*((1),(1),(1))$
Applicando ora la matrice alle componenti di questo vettore rispetto a B trovo le componenti dell'immagine rispetto a C
$((0,-1,-1),( 1,2,2 )) ((1),(0),(0))=( ( 0) , (1) )$
Queste (0,1) sono le componenti del nuovo vettore immagine di $e_1=((1),(0),(0))$, cioè il vettore immagine sarebbe:
$L_A (e_1)=0*(0,1)+1*(1,1)=(1,1)$.
Quindi va sa sé che se prendessi le colonne di quella matrice come insieme di generatori non funzionerebbe, quel che si genera sono combinazioni lineari di componenti!
L'immagine non può coincidere con il sottospazio generato dalle colonne di quella matrice se riferita a basi generiche come quelle del mio esempio!
Spero si veda il dubbio con l'esempio.
Grazie ancora, perché ci sto uscendo pazzo
Si abbia l'applicazione lineare seguente $L_A(x,y,z)=(x+y,z)$
Cerco la matrice associata a questa applicazione lineare rispetto alle due basi seguenti
$B={(1,0,1),(1,0,0),(1,1,1)}$ di $R^3$ che chiamo ${(v_1,v_2,v_3)}$
$C={(0,1),(1,1)}$ di $R^2$ che chiamo ${w_1,w_2}$
Nella matrice associata a questa applicazione lineare che va da B a C nelle colonne vanno scritte le componenti delle immagini dei vettori della base di B, riferiti alla nuova base C, ovvero.
Trovo prima i vettori
$L_A(v_1)=L_A(1,0,1)=(1,1)$
$L_A(v_2)=L_A(1,0,0)=(1,0)$
$L_A(v_1)=L_A(1,1,1)=(2,1)$
Scrivo come combinazione dei vettori nella base C:
$L_A(v_1)=L_A(1,0,1)=(1,1)=0*(0,1)+1*(1,1)$
$L_A(v_2)=L_A(1,0,0)=(1,0)=-1*(0,1)+1*(1,1)$
$L_A(v_1)=L_A(1,1,1)=(2,1)=-1*(0,1)+2*(1,1)$
La matrice associata sarà quindi (rispetto alle basi B e C):
$((0,-1,-1),(1,1,2))$
A questo punto se io prendessi i vettori che avevi chiamato $e_1,e_2,e_3$ vediamo cosa succederebbe:
$e_1=((1),(0),(0))$ scritto rispetto a B avrebbe componenti: (0,1,0) in quanto $e_1=v_2$, cioè: $e_1=((1),(0),(0))=0*((1),(0),(1))+1*((1),(0),(0))+0*((1),(1),(1))$
Applicando ora la matrice alle componenti di questo vettore rispetto a B trovo le componenti dell'immagine rispetto a C
$((0,-1,-1),( 1,2,2 )) ((1),(0),(0))=( ( 0) , (1) )$
Queste (0,1) sono le componenti del nuovo vettore immagine di $e_1=((1),(0),(0))$, cioè il vettore immagine sarebbe:
$L_A (e_1)=0*(0,1)+1*(1,1)=(1,1)$.
Quindi va sa sé che se prendessi le colonne di quella matrice come insieme di generatori non funzionerebbe, quel che si genera sono combinazioni lineari di componenti!
L'immagine non può coincidere con il sottospazio generato dalle colonne di quella matrice se riferita a basi generiche come quelle del mio esempio!
Spero si veda il dubbio con l'esempio.
Grazie ancora, perché ci sto uscendo pazzo
La tua funzione è così definita
Considerando le basi
si ha
Per calcolare l'immagine di $f$ basta usare la definizione di $f$: $f(e_1)=((1),(0))=$
Invece posto $L_A: Av=( ( 1 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 1 ) ) ((x),(y),(z))$
Chiamiamo $B=M_(CB) (f)= ((0,-1,-1),(1,1,2))$, sia $s=[e_1]_B=((0),(1),(0))$
si ottiene che
Cosa abbiamo ottenuto?
Le colonne della matrice associata generano le immagini.
La differenza è che in $L_A: RR^3 -> RR^2$ si è considerato implicitamente le rispettive basi canoniche, invece in $L_B: RR^3->RR^2$ le basi $B,C$.
Ovviamento quanso si sceglie una generica base $mathcal(A)$ di uno spazio vettoriale $V$, ogni vettore $v in V$ deve essere espresso in relazione alla stessa base $mathcal(A)$: ovvero si considera il vettore $[v]_A, qquad AA v in V$; e quando si fa un cambiamento di base occorre riscrivere tutti i vettori rispetto alla nuova base presa in considerazione.
$f: RR^3-> RR^2$
$f(x,y,z)=((x+y),(z))$
$f(x,y,z)=((x+y),(z))$
Considerando le basi
$B={v_1,v_2,v_3}={(1,0,1),(1,0,0),(1,1,1)}$
$ C={w_1,w_2}={(0,1),(1,1)} $
$ C={w_1,w_2}={(0,1),(1,1)} $
si ha
$M_(CB) (f)= ((0,-1,-1),(1,1,2)) $
Per calcolare l'immagine di $f$ basta usare la definizione di $f$: $f(e_1)=((1),(0))=$
Invece posto $L_A: Av=( ( 1 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 1 ) ) ((x),(y),(z))$
quindi $f(e_1)=L_A(e_1)$
$L_A(e_1)=((1),(0))$ è proprio la prima colonna di $A$.
"ìawa vuole l'accento":
A questo punto [...]
$ [e_1]_B=((0),(1),(0))$
Applicando ora la matrice alle componenti di questo vettore rispetto a B trovo le componenti dell'immagine rispetto a C
$ ((0,-1,-1),( 1,2,2 )) ((1),(0),(0))=( ( 0) , (1) ) $
Chiamiamo $B=M_(CB) (f)= ((0,-1,-1),(1,1,2))$, sia $s=[e_1]_B=((0),(1),(0))$
si ottiene che
$L_B(s)=((0,-1,-1),(1,1,2))((0),(1),(0))=((-1),(1))$
Cosa abbiamo ottenuto?
$[f(e_1)]_C=[((1),(0))]_C=((-1),(1))=L_B(s)$
Le colonne della matrice associata generano le immagini.
La differenza è che in $L_A: RR^3 -> RR^2$ si è considerato implicitamente le rispettive basi canoniche, invece in $L_B: RR^3->RR^2$ le basi $B,C$.
Ovviamento quanso si sceglie una generica base $mathcal(A)$ di uno spazio vettoriale $V$, ogni vettore $v in V$ deve essere espresso in relazione alla stessa base $mathcal(A)$: ovvero si considera il vettore $[v]_A, qquad AA v in V$; e quando si fa un cambiamento di base occorre riscrivere tutti i vettori rispetto alla nuova base presa in considerazione.
"ìawa vuole l'accento":
A questo punto [...]
$ [e_1]_B=((0),(1),(0))$
Applicando ora la matrice alle componenti di questo vettore rispetto a B trovo le componenti dell'immagine rispetto a C
$ ((0,-1,-1),( 1,2,2 )) ((1),(0),(0))=( ( 0) , (1) ) $
Ho scritto giusto e poi ho sbagliato a metterlo a matrice colonna, perfetto
era (0,1,0)Allora andando con ordine:
"Magma":
Invece posto $L_A: Av=( ( 1 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 1 ) ) ((x),(y),(z))$
Questa sarebbe: M_(CC) (f) ,giusto?
-----------------
Punto 2:
"Magma":
Cosa abbiamo ottenuto?
$[f(e_1)]_C=[((1),(0))]_C=((-1),(1))=L_B(s)$
Questo passaggio deduttivo non l'ho capito, a me sembra che abbiamo ottenuto $((-1),(1))$ componenti e che quindi "Le colonne della matrice associata generano le componenti delle immagini"
Secondo me il problema sta nel fatto che dovresti approfondire la relazione tra applicazioni lineari tra spazi vettoriali e applicazioni lineari definite da un’analisi matrice
Considera una matrice $A inM_(n,m)(K)$ allora ad essa si associa in modo univoco la applicazione lineare $L:K^m->K^n$
Definita come $L(X)=AX,forallx inK^m$ verifica che è lineare
Si mostra subito che $span(A^1,...,A^m)=im(L)$
Questo è abbastanza ‘ovvio’ visto che l’applicazione definita da una matrice è tale per cui
$Y=AX=x_1A^1+...+x_mA^m$ comunque presa la colonna $X$.
L’applicazione lineare definita da una matrice quindi lavora su combinazioni lineari delle colonne.
A scanso di equivoci nota che se avessi $L,T:K^m->K^n$ con $L,T$ definite da matrici $A,B$ quand’è che coincidono?
Quindi $L,T$ coincidono se e solo se coincidono $A,B$
Questo ci dice che ogni applicazione lineare definita da una matrice, è univocamente determinata dalla matrice stessa.
Nota che ancora non abbiamo parlato di basi.
Le applicazioni definite da una matrice trasforma le colonne della matrice, in particolare lavora su combinazioni lineari di tali colonne.
Per esempio presa la matrice $A=[(1,0),(0,1)]$ l’applicazione lineare $L(X)=AX$ opera così: $Y=x[(1),(0)]+y[(0),(1)]$
Quindi l’immagine di $L$ sarà composta da tutte le combinazioni lineari di $[(1),(0)],[(0),(1)]$
Ora la domanda centrale è: data una applicazione lineare $F:V->W$ con dimensioni $m,n$ e basi $B,B’$ sappiamo che esiste una matrice $A in M_(n,m)(K)$ per cui diremo che $A$ rappresenta $F$ rispetto alle basi $B,B’$ di $V,E$
Ma cosa le lega? C’è una particolare applicazione che si chiama ‘applicazione delle coordinate’.
$C_B:V->K^m$ definita, rispetto a un altro base $B$ fissata, come:
$C(lambda_1e_1+...+lambda_me_m)=[(lambda_1),( : ), (lambda_m)]$
Ovviamente facendo lo stesso con $W$ si ottiene la relazione
$L(C_B(v))=L(X)=AX=Y=C_B’(w)$
Di fatto il tutto è legato alle coordinate dei vettori! e dopodiché lavori sulla applicazione definita dalla matrice ricordando che l’applicazione delle coordinate è un isomorfismo tra spazi.
Considera una matrice $A inM_(n,m)(K)$ allora ad essa si associa in modo univoco la applicazione lineare $L:K^m->K^n$
Definita come $L(X)=AX,forallx inK^m$ verifica che è lineare
Si mostra subito che $span(A^1,...,A^m)=im(L)$
Questo è abbastanza ‘ovvio’ visto che l’applicazione definita da una matrice è tale per cui
$Y=AX=x_1A^1+...+x_mA^m$ comunque presa la colonna $X$.
L’applicazione lineare definita da una matrice quindi lavora su combinazioni lineari delle colonne.
A scanso di equivoci nota che se avessi $L,T:K^m->K^n$ con $L,T$ definite da matrici $A,B$ quand’è che coincidono?
Quindi $L,T$ coincidono se e solo se coincidono $A,B$
Questo ci dice che ogni applicazione lineare definita da una matrice, è univocamente determinata dalla matrice stessa.
Nota che ancora non abbiamo parlato di basi.
Le applicazioni definite da una matrice trasforma le colonne della matrice, in particolare lavora su combinazioni lineari di tali colonne.
Per esempio presa la matrice $A=[(1,0),(0,1)]$ l’applicazione lineare $L(X)=AX$ opera così: $Y=x[(1),(0)]+y[(0),(1)]$
Quindi l’immagine di $L$ sarà composta da tutte le combinazioni lineari di $[(1),(0)],[(0),(1)]$
Ora la domanda centrale è: data una applicazione lineare $F:V->W$ con dimensioni $m,n$ e basi $B,B’$ sappiamo che esiste una matrice $A in M_(n,m)(K)$ per cui diremo che $A$ rappresenta $F$ rispetto alle basi $B,B’$ di $V,E$
Ma cosa le lega? C’è una particolare applicazione che si chiama ‘applicazione delle coordinate’.
$C_B:V->K^m$ definita, rispetto a un altro base $B$ fissata, come:
$C(lambda_1e_1+...+lambda_me_m)=[(lambda_1),( : ), (lambda_m)]$
Ovviamente facendo lo stesso con $W$ si ottiene la relazione
$L(C_B(v))=L(X)=AX=Y=C_B’(w)$
Di fatto il tutto è legato alle coordinate dei vettori! e dopodiché lavori sulla applicazione definita dalla matrice ricordando che l’applicazione delle coordinate è un isomorfismo tra spazi.
"ìawa vuole l'accento":
[quote="Magma"]
Invece posto $L_A: Av=( ( 1 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 1 ) ) ((x),(y),(z))$
Questa sarebbe: M_(CC) (f) ,giusto?[/quote]
Ho aggiornato il topic: $A$ sarebbe la matrice che ha in colonna le immagine della base canonica di $RR^3$ rispetto alla base canonica di $RR^2$.
"ìawa vuole l'accento":
[quote="Magma"]
Cosa abbiamo ottenuto?
$[f(e_1)]_C=[((1),(0))]_C=((-1),(1))=L_B(s)$
Questo passaggio deduttivo non l'ho capito, a me sembra che abbiamo ottenuto $((-1),(1))$ componenti e che quindi "Le colonne della matrice associata generano le componenti delle immagini"[/quote]
Più che deduttivo, è applicativo
Consideriamo il Dominio $RR^3$ di cui si considerano due basi: la base canonica $E$ e $B$
$[e_1]_E=((1),(0),(0)) rArr L_A(((1),(0),(0)))=( ( 1 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 1 ) ) ((1),(0),(0))=((1),(0))$
$[e_1]_B=((0),(1),(0)) rArr L_B(((0),(1),(0)))=((0,-1,-1),( 1,2,2 )) ((0),(1),(0))=((-1),(1))$
Ora spostiamoci nel Codominio $RR^2$
$[((1),(0))]_E=((1),(0))$
$[((1),(0))]_C=((-1),(1))$
ovviamente si tratta sempre dello stesso vettore ottenuto mediante la stessa legge, solamente considerato rispetto a basi differenti.
"anto_zoolander":
Secondo me il problema sta nel fatto che dovresti approfondire la relazione tra applicazioni lineari tra spazi vettoriali e applicazioni lineari definite da un’analisi matrice
Quoto aggiungendo, a questo punto, anche i concetti di base e cambiamento di base
"Magma":[/quote][/quote]
[quote="ìawa vuole l'accento"][quote="Magma"]
$[((1),(0))]_E=((1),(0))$
$[((1),(0))]_C=((-1),(1))$
ovviamente si tratta sempre dello stesso vettore ottenuto mediante la stessa legge, solamente considerato rispetto a basi differenti.
$((1),(0))$
$((-1),(1))$
Uhm... ma a me sono state definite componenti di un vettore rispetto a certe basi e non come vettori uguali rispetto a basi differenti.
[EDIT]
Il vettore sarebbe poi questo: $-1*(0,1)+1*(1,1)$ cioè: $(1,0)$ per questo dicevo l'immagine che è (1,0) sono diverse rispetto alle sue componenti (-1,1), le colonne della matrice sono generatori per (-1,1) componenti di questo tipo e non per le immagini (1,0) che sono vettori.
"ìawa vuole l'accento":
Uhm... ma a me sono state definite componenti di un vettore rispetto a certe basi e non come vettori uguali rispetto a basi differenti.
se poi le componenti di un vettore rispetto a una determinata base le metti in colonna, ottieni il vettore di partenza rispetto alla base considerata.
"ìawa vuole l'accento":
[EDIT]
Il vettore sarebbe poi questo: $-1*(0,1)+1*(1,1)$ cioè: $(1,0)$ per questo dicevo l'immagine che è (1,0) sono diverse rispetto alle sue componenti (-1,1), le colonne della matrice sono generatori per (-1,1) componenti di questo tipo e non per le immagini (1,0) che sono vettori.
Non capisco
Credo ci sia sotto un mio grande problema di definizioni allora
Non capisco[\quote]
Intendevo dire che io pensavo il vettore fosse $((1),(0))$ (coppia di numeri), e poi in componenti rispetto a una base: -1*(0,1)+1*(1,1) cioè scritte le componenti $((-1),(1))$ sempre coppia di numeri, sono d'accordo, ma intrinsecamente diverse in quanto componenti, insomma:
-- $((1),(0))$: vettore;
-- $-1*(0,1)+1*(1,1)$ vettore, con le regole di somma e prodotto vettoriale è lo stesso vettore (cioè si giunge a: $((1),(0))$);
-- $(-1,1)$: mere componenti del vettore, e se volessi tornare al vettore dovrei appunto scriverle come: $-1*(0,1)+1*(1,1)$.
Per questo dicevo che le colonne della matrice generano un sottospazio di componenti dell'immagine e non di immagine, le intendevo due cose concettualmente diverse.
E' qui che sbaglio forse?
--------------
EDIT
Penso di stare incasinandomi, ma forse nasce proprio qui il problema, andando avanti con i ragionamenti mi pare di non saper più capire cosa sia un vettore.
Io ho sempre pensato a una terna $(2,3,4)$ come vettore, poi a seconda del cambiamento di base potevo rappresentarlo il nodi differenti:
- mettiamo di avere la base canonica allora esso sarebbe $2*(1,0,0)+3*(0,1,0)+4(0,0,1)$ Componenti: $(2,3,4)$
- mettiamo ora di avere la base: ${(1,0,1),(0,1,0),(0,0,1)}$, la terna $(2,3,4)$ vettore si rappresenterebbe rispetto ad essa così: $(2,3,2)$.
A questo punto avrei l'entità vettore (2,3,4) che si può esprimere in modi diversi e componenti (interpretabili come terne e quindi vettori nel senso di terne) diversi. Il vettore però resta (2,3,4) cambiano i modi di rappresentarlo.
Mettiamo il vettore (2,3,4) sia l'immagine di una qualche applicazione allora io dico: beh (2,3,4) è il vettore, poi quel vettore ha componenti (2,3,2) che lo descrivono, ma (2,3,2) non è l'immagine non essendo il vettore.
Mi sembra invece voi mi stiate dicendo che non è così:
Il vettore mi pare di capire sia un entità "$x$" alla quale associo un valore terna es: $(2,3,4)$. Questo vettore lo chiamo così perché rispetto ad altri vettori che avevo chiamato $(1,0,0),(0,1,1),(0,0,1)$ ha dei valori univoci.
Adesso cambio base e l'entità $x$ prende nome (2,3,2).
L'immagine che è l'entità "x" potrà chiamarsi (2,3,4) o (2,3,2) entrambe sono x.
Sono sfumature leggermente diverse
"Magma":
[quote="ìawa vuole l'accento"
Il vettore sarebbe poi questo: $-1*(0,1)+1*(1,1)$ cioè: $(1,0)$ per questo dicevo l'immagine che è (1,0) sono diverse rispetto alle sue componenti (-1,1), le colonne della matrice sono generatori per (-1,1) componenti di questo tipo e non per le immagini (1,0) che sono vettori.
Non capisco
[\quote]Intendevo dire che io pensavo il vettore fosse $((1),(0))$ (coppia di numeri), e poi in componenti rispetto a una base: -1*(0,1)+1*(1,1) cioè scritte le componenti $((-1),(1))$ sempre coppia di numeri, sono d'accordo, ma intrinsecamente diverse in quanto componenti, insomma:
-- $((1),(0))$: vettore;
-- $-1*(0,1)+1*(1,1)$ vettore, con le regole di somma e prodotto vettoriale è lo stesso vettore (cioè si giunge a: $((1),(0))$);
-- $(-1,1)$: mere componenti del vettore, e se volessi tornare al vettore dovrei appunto scriverle come: $-1*(0,1)+1*(1,1)$.
Per questo dicevo che le colonne della matrice generano un sottospazio di componenti dell'immagine e non di immagine, le intendevo due cose concettualmente diverse.
E' qui che sbaglio forse?
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EDIT
Penso di stare incasinandomi, ma forse nasce proprio qui il problema, andando avanti con i ragionamenti mi pare di non saper più capire cosa sia un vettore.
Io ho sempre pensato a una terna $(2,3,4)$ come vettore, poi a seconda del cambiamento di base potevo rappresentarlo il nodi differenti:
- mettiamo di avere la base canonica allora esso sarebbe $2*(1,0,0)+3*(0,1,0)+4(0,0,1)$ Componenti: $(2,3,4)$
- mettiamo ora di avere la base: ${(1,0,1),(0,1,0),(0,0,1)}$, la terna $(2,3,4)$ vettore si rappresenterebbe rispetto ad essa così: $(2,3,2)$.
A questo punto avrei l'entità vettore (2,3,4) che si può esprimere in modi diversi e componenti (interpretabili come terne e quindi vettori nel senso di terne) diversi. Il vettore però resta (2,3,4) cambiano i modi di rappresentarlo.
Mettiamo il vettore (2,3,4) sia l'immagine di una qualche applicazione allora io dico: beh (2,3,4) è il vettore, poi quel vettore ha componenti (2,3,2) che lo descrivono, ma (2,3,2) non è l'immagine non essendo il vettore.
Mi sembra invece voi mi stiate dicendo che non è così:
Il vettore mi pare di capire sia un entità "$x$" alla quale associo un valore terna es: $(2,3,4)$. Questo vettore lo chiamo così perché rispetto ad altri vettori che avevo chiamato $(1,0,0),(0,1,1),(0,0,1)$ ha dei valori univoci.
Adesso cambio base e l'entità $x$ prende nome (2,3,2).
L'immagine che è l'entità "x" potrà chiamarsi (2,3,4) o (2,3,2) entrambe sono x.
Sono sfumature leggermente diverse
"ìawa vuole l'accento":
Credo ci sia sotto un mio grande problema di definizioni allora
E' qui che sbaglio forse?
Già...
sia $B={v_1,...,v_n}$ base di $V$ con $dim(V)=n$ allora $v= alpha_1 v_1+...+ alpha_n v_n, qquad AA v in V, qquad AA v in V$
inoltre si definiscel'$n$-upla $(alpha_1,...,alpha_n) in RR^n$ come l'unico vettore tale che $v= alpha_1 v_1+...+ alpha_n v_n$, e si pone $[v]_B=((alpha_1),(vdots),(alpha_n))$
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