Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Ciao, dato un piano in $R^3$ devo trovare una retta perpendicolare a questo piano.L'equazione del piano è $x+y+z+2=0$ e so anche la retta passa per il punto $(2,1,2)$.Mettendo a sistema l'eq. del piano trovo i due vettori che generano il piano e ovviamente il termine noto del piano inteso come vettore di $R^3$.Si ha $pi={t(-1,1,0)+s(-1,0,1)+(-2,0,0)}$.Per trovare una retta ortogonale al piano basta calcolare il prodotto vettoriale tra questi due vettori che è il vettore ...
Buonasera,
Sia $A in mathbb{R^{n,n}}$ invertibile
Supponendo che $A$ sia diagonalizzabile, cioè che vale la relazione
$D=P^{-1}AP$
verificare che anche $A^{-1}$ sia diagonalizzabile e determinare una matrice invertibile $P'$ e una diagonale $D'$ tale che
$D'=(P')^{-1}A^{-1}P'$
Vi mostro il mio procedimento, ditemi se è corretto, sono un po' titubante:
Sia \(\displaystyle A=\phi_{RR} \) "cioè scritta nei riferimenti $R$ " ,ora ...
Ciao,
Non ho capito questa affermazione:
"Affinché un sistema lineare omogeneo abbia soluzioni diverse da quella nulla, il determinante della matrice dei coefficienti deve essere 0".
Il dubbio è riferito al determinante che devo calcolare per trovare il polinomio caratteristico di una matrice.
Non ho capito perché il determinante di $A-lambdaI$ deve essere nullo.
Per avere soluzioni non è sufficiente che il rango della matrice dei coefficienti sia uguale a quello della matrice completa?
Buongiorno, sto facendo questo esercizio e, tra i vari punti, non so come procedere con questi due. Grazie in anticipo a chi vorrà darmi una mano.
Sia $L$ operatore di $\mathbb{R^3}$ con autovalori: $\lambda_1 = 1$, $\lambda_2 = -1$ e con autospazi relativi:
- $V_{\lambda_1}=\{(x_1, x_2, x_3): x_1-2x_2+x_3=0\}$
- $V_{\lambda_2}=Span\{(2,0,1)\}$
a) Dimostrare che $L$ non è simmetrico rispetto al prodotto scalare standard
b) Trovare un prodotto scalare definito positivo rispetto al ...
Mi sono imbattuto in quest'esercizio, ma non saprei come risolverlo.
Determinare l'equazione dell'iperbole tangente nell'origine alla bisettrice del I e III quadrante, passante per $A(1,0)$ ed avente un asintoto parallelo alla bisettrice del II e IV quadrante.
Il mio ragionamento è il seguente:
Come condizioni abbiamo
1) Tangenza della retta $x-y=0$ in $O(0,0)$
2) Passaggio per $A(1,0)$
3) Asintoto nella forma $x+y+k=0$, retta tangente nel punto ...
Salve, il prodotto vettoruale è un'operazione binaria interna mentre quello scalare è semplicemebte un'operazione binaria ne interna e ne esterna.È corretto affermare quanto scritto sopra?Grazie.
Salve a tutti.
Sono nuovo qui, scrivevo per avere un consiglio per quanto riguarda l' Algebra Lineare.
In particolare, mi servirebbe un libro che, oltre a spiegare la teoria utilizzando il classico rigore e formalismo matematico, aiuti a visualizzare mentalmente i concetti grazie ad interpretazioni geometriche.
Ringrazio tutti in anticipo per i consigli e le risposte...
Buonasera,
ho studiato gli spazi duali ma continuo ad avere problemi quando, dalla teoria bisogna passare alla pratica e, ad esempio, calcolare una base duale di uno spazio vettoriale da una base data. Riporto il testo dell'esercizio:
In $R^3$ si consideri il riferimento $R = (v1, v2, v3) =(1, 0, 1),(1, 1, 0),(1, 2, 1)$. Scrivere il riferimento duale $R^*$, scrivendo i funzionali lineari in coordinate rispetto al riferimento canonico duale di $R^3$
Non so cosa fare, potete darmi una ...
Ciao!
Avrei bisogno di un chiarimento sulla definizione di spazio affine.
Un insieme S si chiama spazio affine su un K-spazio vettoriale V se esiste un’applicazione
S $ xx $ V $ → $ S
(P, v) $ → $ Q=P+v
tale che siano soddisfatte le seguenti condizioni:
(1) per ogni P, Q in S esiste un unico v tale che Q = P + v;
(2) se Q = P + v e R = Q + w per P, Q, R ∈ S e v, w ∈ V , allora
R = P + (v + w), dove v + w `e l’usuale somma in V .
Il concetto penso sia ...
"scrivere le rette r passanti per $P(1,1,1)$ parallele al piano $π :y+√2z+1=0$ e formanti con l'asse delle $x$ un angolo di $60°$"
Detti $(l,m,n)$ i numeri direttori di $r$, ho subito la condizione $m+n√2=0$ e quindi
$r={(x=1+l*t),(y=1-n√2t),(z=1+nt):}$
Ora imponendo $\frac{π}{6}=arccos (<<r,x>>)=arccos (\frac{l}{sqrt(l^2+3n^2)})$ ottengo $l=n$.
Ora però mi chiedo: ho fatto bene ad escludere la soluzione $l=-n$? Visto che $π$ è parallelo a ...
salve a tutti
mi date una mano a risolvere il seguente esercizio
grazie in anticipo
cortesemente potete scrivermi tutti i passaggi in modo tale che sia più comprensibile
Grazie!
al variare del parametro k appartenente ai reali, si consideri la matrice
Ak= $ ( ( 2 , 0 , 0 ),( -k+2 , k-1 , -1 ),( k-2 , 0 , k ) ) $
allora
A) per ogni k appartenente ai reali, la matrice Ak è diagonalizzabile sul campo R.
B) per ogni k non appartenete (2,3), la matrice Ak ammette una base ortonormale di autovettori (rispetto al prodotto scalare ...
Buongiorno a tutti,
qualcuno mi potrebbe aiutare nella risoluzione di questo esercizio?
Sono assegnati la matrice $A=((2,1), (1,1))$ ed il sottospazio $V=L(I_2, A, A^2, ...) \sube \RR^(2,2)$
Determinare un sottospazio $W \sube \RR^(2,2)$ tale che la somma diretta tra V e W coincida con $\RR^(2,2)$.
Penso che quello che devo dimostrare è che $dim(V+W)=dimV + dimW$, per fare ciò dovrei trovarmi una base di entrambi i sottospazi, ma non saprei da dove cominciare...
Buonasera,
sto leggendo le proprietà del prodotto scalare geometrico, dove dimostra che $<,>$ è bilineare.
In particolare sta dimostrando che:
$ <u+u',v> = <u,v>+<u'+v> $
Ora mi sono bloccato su un passaggio della dimostrazione, circa:
$**$ $<a,b>+<b,c> = <a,2b>$
non mi è chiara da come ne viene fuori la relazione $**$ precisamente quella a secondo membro.
Mi potreste dare qualche delucidazione a riguardo.
Grazie a presto
Ciao,
sia $K$ un campo e consideriamo il $K$-spazio vettoriale delle funzioni $NN to K$ in altre parole $K^NN$. Per l'assioma della scelta questo spazio vettoriale ha una dimensione (esiste una base e tutte le basi hanno la stessa cardinalità).
Intuitivamente mi sembrava chiaro che $K^NN$ ha dimensione numerabile (ricordando il caso finito-dimensionale $dim(K^n)=n$). Ma questa intuizione è risultata essere abbastanza ingenua. Con ...
Buongiorno,
Sto leggendo il capitolo riguardante le questione metriche sui vettori liberi. Sono arrivato alla definizione di ortogonalizzazione di un vettore $\mathbf{v}$ rispetto ad $\mathbf{u}$.
Mi sorge la domanda, " forse sarà stupidà" ma l'ortogonalizzazione la si può vedere come una funzione ?
Ciao
Sia $R=(e_1,e_2,e_3)$ un riferimento di $RR^3$ e $\phi_t$ l'endomorfismo di $RR^3$ definito ponendo
$\phi_t(e_1)=2e_1+(t+1)(e_2+e_3)$
$\phi_t(e_2)=-e_2$
$\phi_t(e_3)=4e_1+2te_2+(2t+2)e_3$
Scrivere la matrice associata alla base $B={v_1=(1,1,1),v_2=(1,0,1),v_3=(0,0,1)}$
In generale, opero scrivendomi i $v_i$ xome combinazione dei vettori $e_1,e_2,e_3$ (con $i=1,2,3$) e facendo poi agire $\phi_t$. Ma avendo $e_1,e_2,e_3$ sto avendo problemi... ringtazio anticipatamente per eventuali ...
Buongiorno, in un esercizio ho incontrato la seguente richiesta:
"Determinare se esiste una base ortogonale di ^3$ rispetto alla quale A é diagonale."
(La matrice A é una 3x3 con un parametro reale k).
Mi sapreste indicare come procedere, perché al momento l'unica idea che mi é venuta é di determinare per quali k A é simmetrica, ma senza un reale procedimento logico...
salve a tutti
mi date una mano a risolvere questo esercizio?
Grazie in anticipo
si consideri l'applicazione lineare f $ R^3 rarr R^5 $
definita da:
f $ ( ( x1 ),( x2 ),( x3 ) ) = $ $ (( 1 , 1 , 0 ),( 1 , -1 , 0 ),( 1 , 0 , 1 ),( 1 , -1 , 0 ),( 0 , 0 , 1 ) ) $ x $ ( ( x1 ),( x2 ),( x3 ) ) $
sia Z un sottospazio vettoriale di $ R^5=Z o+ imf $ allora:
1 f è iniettiva e dim Z=2
2 dim kerf=2 e dimZ=2
3 dim kerf=1 e dim Z=1
4 f è surgettiva e dim Z=3
5 dim imf=3 e dim ker f =2
Buongiorno, mi spieghereste come operare per risolvere i punti, che vi ho elencato in fondo, di questo esercizio? Grazie.
In $RR^2$ si consideri la retta $r: t \to (2t+1, t-2)$ e la conica $C$$: 4x^2+9y^2+18y+46-24x=0$. Dove, per completezza, con $x$ e $y$ si intendono, rispettivamente, in coordinate omogenee $x_1/x_0$ e $x_2/x_0$.
Quindi la matrice che rappresenta la conica è: $((46,-12,9),(-12,4,0),(9,0,9))$ e si capisce che si tratta, nella ...
È noto che la chiusura di una palla $\bar{B(x,r)}$ e la palla chiusa $\bar{B}(x,r)$ sono due cose diverse, ma io mi stavo chiedendo se fossero equivalenti le seguenti condizioni su uno spazio metrico:
$1)$ ogni palla chiusa è compatta;
$2)$ ogni chiusura di una palla è compatta.
Chiaramente $1)=>2)$ perché $\bar{B(x,r)}\sub\bar{B}(x,r)$, quindi dal fatto che chiuso in un compatto è compatto si conclude.
L'altro verso non so se è vero, ho più che altro cercato ...
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