Sistemi omogenei e Rouché Capelli

[AnalisiZero]

Ciao,

Non ho capito questa affermazione:
"Affinché un sistema lineare omogeneo abbia soluzioni diverse da quella nulla, il determinante della matrice dei coefficienti deve essere 0".
Il dubbio è riferito al determinante che devo calcolare per trovare il polinomio caratteristico di una matrice.
Non ho capito perché il determinante di $A-lambdaI$ deve essere nullo.
Per avere soluzioni non è sufficiente che il rango della matrice dei coefficienti sia uguale a quello della matrice completa?

[Magma1]

Considera il seguente sistema lineare

$S: qquad AX=B hArr$

$( ( a_(11) , cdots , a_(1n) ),( vdots , ddots , vdots ),( a_(n1) , cdots , a_(n n) ) ) ((x_1),(vdots),(x_n))=((0),(0),(0))$

Come tu stesso hai detto,

$S$ è compatibile $hArr r(A|B)=r(A)$

ma non si è specificato nulla sul valore del rango: infatti

$r(A)\in [1,n]$[nota]L'aggiunta di una colonna nulla non altera il rango della matrice, per cui anche $r(A|B) <=n$[/nota]

per cui occorre vedere che succede se $r=n$ oppure se $r

[AnalisiZero]

La matrice la intendi quadrata, giusto?

"Magma":per cui occorre vedere che succede se $r=n$ oppure se $r
Se $r=n$ c'è un'unica soluzione, altrimenti infinite, giusto?

[Magma1]

"AnalisiZero":La matrice la intendi quadrata, giusto?

Opss... sì!

"AnalisiZero":
[quote="Magma"]per cui occorre vedere che succede se $r=n$ oppure se $r
Se $r=n$ c'è un'unica soluzione, altrimenti infinite, giusto?[/quote]


Inoltre, se $r(A)=n, qquad det(A) ... ?$ E quanto vale l'unica soluzione?

[AnalisiZero]

Se il rango è uguale all'ordine il determinante non è nullo...L'unica soluzione sarebbe il vettore nullo che non consideriamo come autovetture.
Però nel nostro caso l'incognita è una, infatti il sistema è:
$(A-lambdaI)vecv=vec0$
Che ha $vecv$ come unica incognita.
Se $A in M_n(RR)$
$r(A)=r(A|b)<=n$.
Ma poiché dobbiamo avere più di una soluzione il rango dovrebbe essere nullo
Non capisco dove faccio confusione

[Magma1]

La confusione sta nel fatto che $vec(v)$ non è rappresenta un'unica incognita, ma è un vettore di incognite:

$vec(v)=((v_1),(v_2),(vdots),(v_i),(vdots)), qquad v_i in RR$

Inoltre credo tu stia confondendo le incognite ($vec(v)$) del sistema lineare con l'incognita ($lambda$) intesa come radice del polinomio caratteristico.

[AnalisiZero]

Ma certo, quindi abbiamo n-equazioni in n-incognite e il rango dell'incompleta non può essere n altrimenti avrei un'unica soluzione. Il motivo per porre $det(A-lambdaI)=0$ è evitare di avere un' unica soluzione.

[Magma1]

"AnalisiZero":Ma certo, quindi abbiamo n-equazioni in n-incognite e il rango dell'incompleta non può essere n altrimenti avrei un'unica soluzione. Il motivo per porre $det(A-lambdaI)=0$ è evitare di avere un' unica soluzione.

"AnalisiZero":[...] evitare di avere un' unica soluzione.

Che sarebbe, con più precisione, quella banale: cioè evitare di considerare come soluzione di $S$ il vettore $bar(0)=((0),(vdots),(0))$

Perché altrimenti

$( ( a_(11) , cdots , a_(1n) ),( vdots , ddots , vdots ),( a_(n1) , cdots , a_(n n) ) )((0),(vdots),(0))=((0),(vdots),(0))$

è verificata per ogni matrice $A$; e noi non vogliamo che ciò accada

[AnalisiZero]

Ti ringrazio

[dissonance]

"AnalisiZero":il vettore nullo che non consideriamo come autovetture.

i correttori automatici non conoscono la matematica