Determinazione matrice invertibile

[galles90]

Buonasera,

Sia $A in mathbb{R^{n,n}}$ invertibile

Supponendo che $A$ sia diagonalizzabile, cioè che vale la relazione

$D=P^{-1}AP$

verificare che anche $A^{-1}$ sia diagonalizzabile e determinare una matrice invertibile $P'$ e una diagonale $D'$ tale che

$D'=(P')^{-1}A^{-1}P'$

Vi mostro il mio procedimento, ditemi se è corretto, sono un po' titubante:

Sia \(\displaystyle A=\phi_{RR} \) "cioè scritta nei riferimenti $R$ " ,ora l'inversa di $A$ sarà \(\displaystyle A'=\phi_{RR} \).
Considerando che la matrice $A$ è diagonalizzabile, esisterà allora un riferimento $R'$ di autovettori. Ora se considero la matrice $P'$ della trasformazione delle componenti da $R' to R$.
Non è finito, è sola una parte

E' corretto il ragionamento ?

Grazie

[killing_buddha]

Se $A$ è invertibile, lo è $D$, e $D^{-1}=P^{-1}A^{-1}P$ deve essere anche lei diagonale (l'inversa di una matrice diagonale è diagonale, e ha elementi gli inversi degli elementi in diagonale).