Definizione di spazio affine
Ciao!
Avrei bisogno di un chiarimento sulla definizione di spazio affine.
Un insieme S si chiama spazio affine su un K-spazio vettoriale V se esiste un’applicazione
S $ xx $ V $ → $ S
(P, v) $ → $ Q=P+v
tale che siano soddisfatte le seguenti condizioni:
(1) per ogni P, Q in S esiste un unico v tale che Q = P + v;
(2) se Q = P + v e R = Q + w per P, Q, R ∈ S e v, w ∈ V , allora
R = P + (v + w), dove v + w `e l’usuale somma in V .
Il concetto penso sia chiaro: per ogni punto di S e vettore di V associo un unico punto di S.
Una definizione alternativa che ho trovato è anche: per ogni coppia di punti di S associo un unico vettore di V definito come la differenza di tali punti.
S $ xx $ S $ → $ V
(P, Q) $ → $ v=Q-P
Ciò che non mi è chiaro è come viene definito il punto Q:
Q=P+v
Concettualmente preso un punto e traslato di un vettore ottengo un altro punto, ma concretamente questa applicazione come agisce?
Se fosse S=V= $ mathbb(K) $ ^n allora a quel punto la definizione di Q si riduce alla somma vettoriale definita in V. Ma negli altri casi?
Spero si capisca quale sia il mio dubbio,
grazie mille in anticipo per eventuali chiarimenti, molto apprezzati!
Avrei bisogno di un chiarimento sulla definizione di spazio affine.
Un insieme S si chiama spazio affine su un K-spazio vettoriale V se esiste un’applicazione
S $ xx $ V $ → $ S
(P, v) $ → $ Q=P+v
tale che siano soddisfatte le seguenti condizioni:
(1) per ogni P, Q in S esiste un unico v tale che Q = P + v;
(2) se Q = P + v e R = Q + w per P, Q, R ∈ S e v, w ∈ V , allora
R = P + (v + w), dove v + w `e l’usuale somma in V .
Il concetto penso sia chiaro: per ogni punto di S e vettore di V associo un unico punto di S.
Una definizione alternativa che ho trovato è anche: per ogni coppia di punti di S associo un unico vettore di V definito come la differenza di tali punti.
S $ xx $ S $ → $ V
(P, Q) $ → $ v=Q-P
Ciò che non mi è chiaro è come viene definito il punto Q:
Q=P+v
Concettualmente preso un punto e traslato di un vettore ottengo un altro punto, ma concretamente questa applicazione come agisce?
Se fosse S=V= $ mathbb(K) $ ^n allora a quel punto la definizione di Q si riduce alla somma vettoriale definita in V. Ma negli altri casi?
Spero si capisca quale sia il mio dubbio,
grazie mille in anticipo per eventuali chiarimenti, molto apprezzati!
Risposte
No, non si capisce molto la tua domanda... sai cos'è l'azione di un gruppo su un insieme?
No!
Allora dovresti; la definizione di spazio affine diventa abbastanza chiara, alla luce di quella. 
Non so se può aiutare, ma io non ho mai capito veramente gli spazi affini finché non sono capitato sul pdf di Jean Gallier:
http://www.cis.upenn.edu/~cis610/geombchap2.pdf
http://www.cis.upenn.edu/~cis610/geombchap2.pdf
Grazie mille!!
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