Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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salve a tutti, mi sono imbattuta in una domanda di algebra lineare che diceva:
"Esiste A una matrice quadrata di ordine 3 avente autovalori −1,1,0 ed autovettori rispettivamente (−3,0,6),(0,1,1),(2,0,−4)?"
avevo pensato di ragionare usando la definizione di autovettore e di autovalore e ricavare quindi i vettori che potrebbero formare tale matrice. in particolare:
$ f(v1)=-1*v1 $ quindi $ v1=f(v1)/(-1)=(3;0;-6)$
$ f(v2)=1*v2=v2 $ quindi $v2=(0;1;1) $
$f(v3)=0* v3 $ quindi ...
Ciao!!
Ho dei problemi con la risoluzione di questo esercizio, in allegato ho messo la foto.
Non capisco come scegliere i parametri e sopratutto vorrei capire quali sono le regole per stabilire ogni volta quanti parametri sono necessari.
Grazie anticipatamente!
Buongiorno a tutti, avrei bisogno di un aiuto per risolvere un quesito di algebra lineare riguardo i sistemi lineari e la loro risoluzione con le matrici.
Il testo mi chiede di indicare se queste affermazioni sono vere o false:
1) il sistema lineare:
$\{(x + y + k^2z = 0),((4k + 1)x - y - (8k^2 - 1)z = 1),(x + y + z = 0):}$
c) per k = $-1/2$ il sistema non ammette alcuna soluzione reale.
2) data la matrice:
$((4,0,0),(1,1,0),(2,0,k))$
a) il vettore $((0),(0),(4))$ è soluzione del sistema A$\vec x$ = $\vec 0$
Per il primo ...
Mostrate che $\pi_3(SU(n))\cong ZZ$ per ogni $n\ge 2$.
Ciao a tutti, qualcuno può aiutarmi con questo esercizio?
Si consideri l'applicazione lineare $f:RR^4→S(RR^(2,2))$ così definita: ($S(RR^(2,2))$ è l'insieme delle matrici simmetriche di ordine 2)
$f(0,0,1,−1)=((0,1),(1,2))$
$f(0,−1,1,0)=((2,0),(0,−2))$
$f(1,0,0,1)=((1,2),(2,−1))$
$f(2,1,0,0)=((−1,1),(1,1))$
1) Scrivere la matrice associata ad f rispetto alle basi canoniche di $RR^4$ e $S(RR^(2,2))$
2)determinare esplicitamente i vettori dell'insieme: $H=f^(−1)(((1,2),(2,1)))$
Soluzione
1)Essendo f definita mediante le immagini ...
Dati i due vettori colonna X=(1 5) y=(-3 -3)
a) verificare che i due vettori costituiscono una base di R^2
b) scrivere il vettore colonna w=(-2 6) come combinazione lineare dei due vettori x e y
Purtroppo mi sono perso le lezioni riguardo ai vettori, anche rivedendo gli appunti non riesco a capire come risolvere sia la a) sia la b)
grazie in anticipo a chi mi aiuta anche risolvendo l'esercizio così confrontando lo svolgimento e gli appunti posso riuscire a capire qualcosa
Buonasera,
sto cercando di risolvere questo esercizio sulle applicazioni lineari, ma non so da dove partire:
Riporto il testo:
Siano f, g, h le applicazioni lineari di R^2 in sè rappresentate (rispetto alla base canonica) rispettivamente dalle matrici
F = \( \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \) G = \( \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \)
H = \( \begin{pmatrix} 0 & -4 \\ 0 & -3 \end{pmatrix} \)
Non ho capito se lo spazio di partenza è la base canonica { (1,0) ...
Ciao a tutti ! Il prof ha lasciato alcune dimostrazioni per esercizio.
Dato V spazio normato, A,B $ sube $ V , definiamo la somma di due insiemi
$ A+B={x+y:x\inA,y\inB} $
Dimostrare che $ bar(A+B) \sube bar(A) + \bar(B) $ .
Vedere se vale il viceversa nel caso A,B siano convessi
Io ho tentato di fare così
$ x \in \bar(A+B) \Rightarrow EE \delta>0 : B(x,\delta)nn (A+B) \ne 0 $
Arrivata qui avevo pensato di prendere un punto in questa intersezione e
scrivere x come somma di due elementi rispettivamente di A e di B.
Poi avrei potuto concludere grazie ...
Buongiorno,
Sto leggendo il capitolo riguardante la diagonalizzazione ortogonale, mi fa un esempio a riguardo degli Endomorfismi associati a matrici simmetriche reali, dove c'è un passaggio che non mi è chiaro, vi riporto come sta scritto:
Considerata una matrice $A$ quadrata simmetrica reale di ordine $n$, proviamo che $f_A : mathbb{R^n} to mathbb{R^n}$ dello spazio vettoriale euclideo (mathbb{R^n},) definita da $A$ risulti simmetrico.
$**$ Essendo ...
Salve,
dati i seguenti sottospazi di $R^3$:
$ U={(x,y,x)in R^3|y-2z=0}$
$V=<(2,1,0)(1,0,3)(3,2,3)> $
determinare una base di $ U nn V $.
Prima di tutto ho verificato che i vettori che compongono $V$ fossero linearmente indipendenti e lo sono. Ho trovato una base di $U$ ponendo $y=2z$ e dunque una base di $U$ è $<(1,0,0)(0,2,1)>$
Dopodichè ho pensato di scrivere un generico vettore $v in U nn V$ come combinazione lineare della base di ...
salve a tutti, sto preparando uno scritto di Geometria e algebra lineare e mi sono imbattuta in questa domanda:
-Dire se la seguente affermazione è vera e motiva la risposta.
"Data la conica C di equazione $ 5x^2+8y^2−3x−6y = 0 $ , non esiste nessuna rotazione del piano che trasforma la sua equazione nella forma $ αX^2+βY^2= γ $ "
io direi che è vera, in quanto osservando che manca il termine in xy vuol dire che la rotazione o è già avvenuta o comunque non può avvenirne una ulteriore perchè le ...
Salve a tutti, è il primo argomento che pubblico quindi spero di non infrangere qualche regola; in tal caso, chiedo anticipatamente scusa
Il problema (che dovrebbe essere abbastanza banale) è questo:
Trovare un sottospazio $R^3$ che contiene i vettori u=i-k e v=i+j. (non è specificato nella traccia ma immagino che i, j, k siano i versori degli assi x, y e z).
Non so come impostarlo... immagino di dover trovare un terzo vettore linearmente indipendente a u e v, ma sono alle ...
Salve a tutti!
Qualcuno potrebbe aiutarmi con questa dimostrazione? Non saprei proprio da dove partire...
Dato l'endomorfismo $f: V \to V$ dimostrare che:
1) $Ker(f) \sube Ker(f^2) \sube Ker(f^3) \sube Ker(f^4) \sube ...$
2) Se $Ker(f^n)=Ker(f^(n+1)) \rArr Ker(f^(n+1))=Ker(f^(n+2))$
3) $Im(f) \supe Im(f^2) \supe Im(f^3) \supe Im(f^4) \supe ...$
4) Se $Im(f^n)=Im(f^(n+1)) \rArr Im(f^(n+1))=Im(f^(n+2))$
Nel mio corso si è usata la seguente definizione di determinante di una matrice $A={a_ij} in K^(m,n)$
$det(A)=\sum_{p in S_n} s(p)a_(1p(1))*...*a_(np(n))$
(dove $s(p)$ è il segno della permutazione
Ora nelle dimostrazioni spesso si usa il fatto che se $f: p in S_n ->q in S_n$ è un'applicazione biettiva e $s(p)=s(q)$, allora
$\sum_{p in S_n} s(p)a_(1p(1))*...*a_(np(n)=$ $ \sum_{q in S_n} s(q)a_(1q(1))*...*a_(nq(n)$
Non sarei però come poterlo affermare con sicurezza. Come si potrebbe "formalizzare"? C'è qualche proprietà Delle sommatoria che non conosco?
Salve a tutti, scrivo questo messaggio perché ho bisogno di un consiglio.
Per me è arrivato il momento di chiedere la tesi triennale (matematica), so già chi voglio come relatore e dovrei chiedergli un incontro per sapere se è disponibile, eppure continuo a rimandare.
Il problema è che il professore che ho scelto insegna geometria, io voglio fare una tesi in geometria, ma l'ultimo esame di geometria l'ho dato più di un anno fa! Quindi non ho ben chiaro quale argomento affrontare nella ...
Buongiorno a tutti,
Mi sono bloccata su questo esercizio, soprattutto riguardo al secondo punto. Non riesco a capire come ottenere g. Qualcuno potrebbe aiutarmi a togliermi un po' di dubbi ? Vi ringrazio
Sia A $((1,1,1-k),(1,1-k,1),(1-k,1,1))$
E f (X,y)=x'Ay la forma bilineare corrispondente.
Determinare rango e segnatura di f.
Sia g la restrizione di f al piano generato da e1 e3, determinare rango e segnatura di g
Buonasera a tutti. Mi sono imbattuto in questo esercizio:
Sia $mathcal{C}$ l'insieme di tutte le coniche non degeneri del piano proiettivo che hanno il triangolo di vertici $\left[1,0,0\right]$; $\left[0,1,0\right]$; $\left[0,0,1\right]$ come triangolo autopolare.
- Determinare le forme canoniche affini delle coniche di $mathcal{C}$
- Dire, spiegando perché, se $mathcal{C}$ contiene parabole
- Trovare tutte le eventuali coniche di $mathcal{C}$ che intersecano $r_{\infty}$ in ...
Buonasera, analizzando il gruppo fondamentale della bottiglia di Klein sono arrivato a dire che coincide con quello che ho scoperto chiamarsi gruppo di Baumslag Solitar (1,1). Mi potreste indicare per piacere le prime proprietà (non riesco al momento ad approfondire troppo l'argomento) e soprattutto (se fattibile) aiutarmi con una rappresentazione grafica? Cercando (su Wikipedia, quindi affidabile fino a un certo punto) ho trovato una rappresentazione del gruppo (2,1), mi chiedevo se fosse ...
Buongiorno a tutti, per l'esame di costruzioni in zona sismica (ing. civile) dovrei risolvere un problema agli autovalori, è da qualche anno che non pratico con matrici qundi ho un dubbio, vi spiego:
Il problema da risolvere è il seguente: $ (K-\lambdaM)\psi=0 $
se scrivo su MATLAB [A,B]=eig(K,M) mi restituisce due matrici contenenti A autovettori e B autovalori, e fino a qui tutto ok, prima di usare questo comando avevo provato a riportare il problema alla forma nota che ho studiato e che sapevo ...
Ciao, sto discutendo la risolvibilità di un sistema lineare al variare di un parametro reale.Per un valore del parametro ho questo sistema$\{(x+2y=2),(2x+4y=4):}$.Il sistema ammette $infty^1$soluzioni.Dunque risolvendo il sistema applicando alla sua matrice completa la procedura di riduzione gaussiana mi ritrovo con $\{(x=2-2t),(y=t):}$.La dimensione dello spazio delle soluzioni del sistema è uguale ad 1.Una sua generica base è quindi $(-2,1)$.Però in realtà lo spazio è generato da ...
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