Prodotto scalare geometrico,
Buonasera,
sto leggendo le proprietà del prodotto scalare geometrico, dove dimostra che $<,>$ è bilineare.
In particolare sta dimostrando che:
Ora mi sono bloccato su un passaggio della dimostrazione, circa:
$**$ $+ = $
non mi è chiara da come ne viene fuori la relazione $**$ precisamente quella a secondo membro.
Mi potreste dare qualche delucidazione a riguardo.
Grazie a presto
sto leggendo le proprietà del prodotto scalare geometrico, dove dimostra che $<,>$ è bilineare.
In particolare sta dimostrando che:
$ = + $
Ora mi sono bloccato su un passaggio della dimostrazione, circa:
$**$ $
non mi è chiara da come ne viene fuori la relazione $**$ precisamente quella a secondo membro.
Mi potreste dare qualche delucidazione a riguardo.
Grazie a presto
Risposte
Cos'è il prodotto scalare geometrico?
Si definisce prodotto scalare "geometrico" di due vettori liberi $u$ e $v$, (scusami se non li scrivo in grassetto) il numero reale $$ definito:
$$ = 0 se e soltato se $u=0$ oppure $v=0$
oppure
$ = |u||v|cos(u ' v)$
Cioè, sia $V$ spazio vettoriale su $mathbb{R}$, il prodotto scalare è una funzione:
$
oppure
$
Cioè, sia $V$ spazio vettoriale su $mathbb{R}$, il prodotto scalare è una funzione:
$ : V times V to mathbb{R} $
Se \(\cos(u,v)\) indica il coseno dell'angolo tra i due vettori (ma misurato come? in uno spazio euclideo generico la definizione del coseno tra due vettori è esattamente \(\frac{v\cdot w}{|v||w|}\)... Ed è vero che puoi ridurti a un coseno piano considerando i vettori nel piano da essi generato, ma... suvvia), quelle condizioni non possono essere entrambe verificate per una funzione \(V\times V\to \mathbb R\), perché è falso che \(|u||v|\cos(u,v)\) sia zero se e solo se uno tra $u,v$ è zero (affinché il prodotto scalare sia zero, è sufficiente che sia \(\pi/2\) l'angolo che essi formano).
Allora dovrei pensare che sia più corretto dire:
che il prodotto scalare $< cdot, cdot>$ è definito come :
\(\displaystyle < u, v> = \begin{cases} 0 & \mbox{se } u=0 \vee v=0 \\ |u||v|cos(u'v) & \mbox{se }u \ne 0 \land v \ne 0 \land (u'v) \ne \pi/2
\end{cases} \)
che il prodotto scalare $< cdot, cdot>$ è definito come :
\(\displaystyle < u, v> = \begin{cases} 0 & \mbox{se } u=0 \vee v=0 \\ |u||v|cos(u'v) & \mbox{se }u \ne 0 \land v \ne 0 \land (u'v) \ne \pi/2
\end{cases} \)
Ma mi spieghi qual è il motivo per cui vuoi questa distinzione? la definizione \(\langle u,v\rangle = |u||v|\cos(u,v)\) copre già tutti i casi.
Sembrava che la stessi dicendo tu 
Quindi ora se volessi fare la somma di $+$ come posso fare ?
Quindi ora se volessi fare la somma di $
Allora con i vettori liberi vale il Teorema del coseno, riscritto così
$|u+v|^2=|u|^2+|v|^2+2<>$
Quindi
$|a+b+c|^2=|(a+b)+c|^2=|a+b|^2+|c|^2+2<>=|a|^2+|b|^2+|c|^2+2<>+2<>$
$|a+b+c|^2=|a+(b+c)|^2=|a|^2+|b+c|^2+2<>=|a|^2+|b|^2+|c|^2+2<>+2<>$
Sottraendo membro a membro si ricava
$<>+<>=<>+<>$ (1)
Ponendo $-c$ (e ricordando che $<>=a<>=<>$ per ogni $a in RR$ ) a quest'ultima uguaglianza si ha
$<> - <>=- <>+<>$ (2)
Sommando la (1) e la (2) si ha
$<>=2<>=<>+<>$
$|u+v|^2=|u|^2+|v|^2+2<
Quindi
$|a+b+c|^2=|(a+b)+c|^2=|a+b|^2+|c|^2+2<
$|a+b+c|^2=|a+(b+c)|^2=|a|^2+|b+c|^2+2<
Sottraendo membro a membro si ricava
$<
Ponendo $-c$ (e ricordando che $<
$<
Sommando la (1) e la (2) si ha
$<
Grazie 
Prego, fammi sapere se non ti trovi con qualcosa 
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