Esercizio con il prodotto vettoriale

[JackPirri]

Ciao, dato un piano in $R^3$ devo trovare una retta perpendicolare a questo piano.L'equazione del piano è $x+y+z+2=0$ e so anche la retta passa per il punto $(2,1,2)$.Mettendo a sistema l'eq. del piano trovo i due vettori che generano il piano e ovviamente il termine noto del piano inteso come vettore di $R^3$.Si ha $pi={t(-1,1,0)+s(-1,0,1)+(-2,0,0)}$.Per trovare una retta ortogonale al piano basta calcolare il prodotto vettoriale tra questi due vettori che è il vettore $(1,1,1)$.Dunque tale retta è generata dal vettore $(1,1,1)$ che è anche il vettore direzione.La mia perplessità nasce dal fatto che se $(2,1,2)$ appartiene alla retta e se il vettore $(1,1,1)$ mi genera questa retta, allora ogni punto della retta è combinazione lineare di $(1,1,1)$.Ma chiaramente $(2,1,2)$ e $(1,1,1)$ sono liberi.Potete aiutarmi?
Un'altra domanda $(2,1,2)$ è il termine noto della retta vero?Grazie.

[killing_buddha]

Eh no, non hai capito proprio niente. Punti e vettori sono cose diverse

Prova così: dato un piano di equazione $aX+bY+cZ+d=0$ la direzione ortogonale al piano è il vettore che ha coordinate $(a,b,c)$, praticamente per definizione di cos'è il piano.
Allora, la retta che ti interessa è \( \left(\begin{smallmatrix}P_0\\P_1\\ P_2 \end{smallmatrix}\right) + \left\langle \left(\begin{smallmatrix} a\\b\\c\end{smallmatrix}\right)\right\rangle\).

[JackPirri]

Ciao,vediamo se ho capito:
1)l'esercizio si risolveva immediatamente considerando i coefficienti direttori del piano;
2)Il termine noto di una retta o di un piano (considerando le loro equazioni parametriche vettoriali) non è un vettore ma un punto, perché il termine noto di una retta o un piano,considerando le loro equazioni cartesiane, è un coefficiente.;
3)E' sbagliato scrivere:ogni punto del piano (vale anche per le rette) si può scrivere come c.l. dei vettori direzione.Poichè non parliamo di punti ma di vettoriappartenenti al piano.
4)I vettori appartenenti al piano sono quei vettori le cui coordinate ,sostituite nell'eq.cartesiana, la annullano.
Grazie.