Esercizio su sottospazi e somma diretta
Buongiorno a tutti,
qualcuno mi potrebbe aiutare nella risoluzione di questo esercizio?
Sono assegnati la matrice $A=((2,1), (1,1))$ ed il sottospazio $V=L(I_2, A, A^2, ...) \sube \RR^(2,2)$
Determinare un sottospazio $W \sube \RR^(2,2)$ tale che la somma diretta tra V e W coincida con $\RR^(2,2)$.
Penso che quello che devo dimostrare è che $dim(V+W)=dimV + dimW$, per fare ciò dovrei trovarmi una base di entrambi i sottospazi, ma non saprei da dove cominciare...
qualcuno mi potrebbe aiutare nella risoluzione di questo esercizio?
Sono assegnati la matrice $A=((2,1), (1,1))$ ed il sottospazio $V=L(I_2, A, A^2, ...) \sube \RR^(2,2)$
Determinare un sottospazio $W \sube \RR^(2,2)$ tale che la somma diretta tra V e W coincida con $\RR^(2,2)$.
Penso che quello che devo dimostrare è che $dim(V+W)=dimV + dimW$, per fare ciò dovrei trovarmi una base di entrambi i sottospazi, ma non saprei da dove cominciare...
Risposte
$A$ deve annullare il suo polinomio caratteristico (che coincide col polinomio minimo), sicché il tuo sottospazio deve essere (lo spazio vettoriale sottostante a) \(\mathbb{R}[X]/(p_A(X)) = \mathbb{R}[X]/(X^2-3X+1)\), che ha dimensione uguale al grado di $p_A(X)$.
"killing_buddha":
sicché il tuo sottospazio deve essere (lo spazio vettoriale sottostante a) \(\mathbb{R}[X]/(p_A(X)) = \mathbb{R}[X]/(X^2-3X+1)\), che ha dimensione uguale al grado di $p_A(X)$.
Grazie per la risposta! Come mai avviene questo?
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